bimódulo
En álgebra abstracta , un bimódulo es un grupo abeliano que es tanto un módulo izquierdo como uno derecho , de modo que las multiplicaciones izquierda y derecha son compatibles. Además de aparecer de forma natural en muchas partes de las matemáticas, los bimódulos juegan un papel clarificador, en el sentido de que muchas de las relaciones entre los módulos izquierdo y derecho se simplifican cuando se expresan en términos de bimódulos.
Si R y S son dos anillos , entonces un bimódulo R - S - es un grupo abeliano tal que:
Si M y N son R - S -bimódulos, entonces un mapa f : M → N es un homomorfismo de bimódulo si es tanto un homomorfismo de módulos R izquierdos como de módulos S derechos.
Un bimódulo R - S es en realidad lo mismo que un módulo izquierdo sobre el anillo , donde está el anillo opuesto de S (con la multiplicación al revés). Los homomorfismos de bimódulo son los mismos que los homomorfismos de los módulos izquierdos. Usando estos hechos, muchas definiciones y afirmaciones sobre módulos pueden traducirse inmediatamente en definiciones y afirmaciones sobre bimódulos. Por ejemplo, la categoría de todos los bimódulos R - S es abeliana y los teoremas de isomorfismo estándar son válidos para los bimódulos.
Sin embargo, hay algunos efectos nuevos en el mundo de los bimódulos, especialmente cuando se trata del producto tensorial : si M es un bimódulo R - S y N es un bimódulo S - T , entonces el producto tensorial de M y N (tomado sobre el anillo S ) es un bimódulo R - T de forma natural. Este producto tensorial de bimódulos es asociativo ( hasta un único isomorfismo canónico), y por lo tanto se puede construir una categoría cuyos objetos sean los anillos y cuyos morfismos sean los bimódulos. Esto es de hecho un2-categoría , de manera canónica: 2 morfismos entre R - S -bimódulos M y N son exactamente homomorfismos bimódulos, es decir, funciones
para metro ∈ METRO , r ∈ R , y s ∈ S . Inmediatamente se verifica la ley de intercambio para homomorfismos bimódulos, es decir