En la teoría de categorías , una categoría 2 estricta es una categoría con " morfismos entre morfismos", es decir, donde cada conjunto homogéneo lleva la estructura de una categoría. Puede definirse formalmente como una categoría enriquecida sobre Cat (la categoría de categorías y functores , con la estructura monoidal dada por producto de categorías ).
El concepto de categoría 2 fue introducido por primera vez por Charles Ehresmann en su trabajo sobre categorías enriquecidas en 1965. [1] El concepto más general de bicategoría (o categoría 2 débil ), donde la composición de los morfismos es asociativa solo hasta un 2- isomorfismo, fue descubierto en 1968 por Jean Bénabou. [2]
Definición
Una categoría C 2 consta de:
- Una clase de 0- celdas (u objetos ) A , B , ....
- Para todos los objetos A y B , una categoría. Los objetosde esta categoría se denominan células 1 y sus morfismosse llaman 2 celdas ; la composición en esta categoría generalmente se escribe o y denominada composición vertical o composición a lo largo de una celda de 1 .
- Para cualquier objeto A hay un functor de la categoría terminal (con un objeto y una flecha) paraque escoge la identidad 1-cell ID A en A y su identidad 2-cell ID ID A . En la práctica, estos dos se denota a menudo simplemente una .
- Para todos los objetos A , B y C , hay un funtor, llamada composición horizontal o composición a lo largo de una celda 0 , que es asociativa y admite [ aclaración necesaria ] la identidad 1 y 2 celdas de id A como identidades. Aquí, asociatividad para significa que componer horizontalmente dos veces para es independiente de cuál de los dos y se componen primero. El símbolo de la composición se omite a menudo, el compuesto horizontal de 2 celdas y siendo escrito simplemente como .
La noción de categoría 2 difiere de la noción más general de categoría bicategoría en que se requiere que la composición de celdas 1 (composición horizontal) sea estrictamente asociativa, mientras que en una categoría bicategoría solo necesita ser asociativa hasta un isomorfismo 2. Los axiomas de una categoría 2 son consecuencia de su definición como categorías enriquecidas con Cat :
- La composición vertical es asociativa y unital, siendo las unidades la identidad de 2 celdas id f .
- Composición horizontal es también (en sentido estricto) asociativo y unital, las unidades que se la identidad 2-células ID ID A sobre la identidad 1-células ID A .
- La ley de intercambio se mantiene; es decir, es cierto que para componibles 2 celdas
La ley de intercambio se deriva del hecho de que es un functor entre categorías hom. Se puede dibujar como un diagrama de pegado de la siguiente manera:
= | = | |||||
Aquí, el diagrama de la izquierda denota la composición vertical de los compuestos horizontales, el diagrama de la derecha denota la composición horizontal de los compuestos verticales y el diagrama del centro es la representación habitual de ambos.
Doctrinas
En matemáticas, una doctrina es simplemente una categoría 2 que se considera heurísticamente como un sistema de teorías. Por ejemplo, las teorías algebraicas , tal como las inventó William Lawvere , son un ejemplo de una doctrina, al igual que las teorías , operadas , categorías y tópicos de múltiples ordenamientos .
Los objetos de la categoría 2 se llaman teorías , los morfismos 1se denominan modelos de A en B , y los 2-morfismos se denominan morfismos entre modelos.
La distinción entre una categoría 2 y una doctrina es realmente solo heurística: uno no suele considerar que una categoría 2 esté poblada por teorías como objetos y modelos como morfismos. Es este vocabulario el que hace que la teoría de las doctrinas valga la pena.
Por ejemplo, el Gato de 2 categorías de categorías, functores y transformaciones naturales es una doctrina. Se ve de inmediato que todas las categorías de pregamas son categorías de modelos.
Como otro ejemplo, se puede tomar la subcategoría de Cat que consta solo de categorías con productos finitos como objetos y functores que conservan el producto como 1-morfismos. Esta es la doctrina de las teorías algebraicas de múltiples ordenamientos. Si uno solo quisiera teorías algebraicas clasificadas en 1, restringiría los objetos a solo aquellas categorías que son generadas bajo productos por un solo objeto.
Las doctrinas fueron descubiertas por Jonathan Mock Beck .
Ver también
Referencias
- ^ Charles Ehresmann , Catégories et estructuras, Dunod, París 1965.
- ^ Jean Bénabou, Introducción a las bicategorías, en Informes del seminario de categorías del Medio Oeste, Springer, Berlín, 1967, págs.
Notas al pie
- Modelos algebraicos generalizados , de Claudia Centazzo.
enlaces externos
- Medios relacionados con la categoría 2 estricta en Wikimedia Commons