En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , el opuesto de un anillo es otro anillo con los mismos elementos y operación de suma, pero con la multiplicación realizada en orden inverso. Más explícitamente, lo contrario de un anillo de ( R , +, ⋅ ) es el anillo ( R , +, *) cuya multiplicación * está definido por un * b = b ⋅ una para todos un , b en R . [1] [2] El anillo opuesto se puede utilizar para definirmultimodules , una generalización de bimodules . También ayudan a aclarar la relación entre los módulos izquierdo y derecho (ver § Propiedades ).
Los monoides , grupos , anillos y álgebras pueden verse como categorías con un solo objeto . La construcción de la categoría opuesta generaliza el grupo opuesto, el anillo opuesto, etc.
Ejemplos de
Álgebra libre con dos generadores
El álgebra libre sobre un campo con generadores tiene multiplicación de la multiplicación de palabras. Por ejemplo,
Entonces el álgebra opuesta tiene una multiplicación dada por
que no son elementos iguales.
Álgebra de cuaternión
El álgebra del cuaternión [3] sobre un campoes un álgebra de división definida por tres generadores con las relaciones
- , , y
Todos los elementos de son de la forma
Si la multiplicación de se denota , tiene la tabla de multiplicar
Entonces el álgebra opuesta con multiplicación denotada tiene la mesa
Álgebra conmutativa
Un álgebra conmutativa es isomorfo a su álgebra opuesta desde para todos y en .
Propiedades
- Dos anillos R 1 y R 2 son isomorfos si y solo si sus correspondientes anillos opuestos son isomorfos
- Lo contrario de lo contrario de un anillo R es isomorfo a R .
- Un anillo y su anillo opuesto son anti-isomorfos .
- Un anillo es conmutativo si y solo si su operación coincide con su operación opuesta. [2]
- Los ideales de la izquierda de un anillo son los ideales de la derecha de su opuesto. [4]
- El anillo opuesto de un anillo de división es un anillo de división. [5]
- Un módulo izquierdo sobre un anillo es un módulo derecho sobre su opuesto y viceversa. [6]
Citas
Referencias
- Berrick, AJ; Keating, ME (2000). Introducción a los anillos y módulos con la teoría K a la vista . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 65 . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63274-4.
- Nicolás, Bourbaki (1989). Álgebra I . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .
Ver también
- Grupo opuesto
- Categoría opuesta