La notación de índices múltiples es una notación matemática que simplifica las fórmulas utilizadas en el cálculo multivariable , las ecuaciones diferenciales parciales y la teoría de distribuciones , al generalizar el concepto de índice entero a una tupla ordenada de índices.
Un multi-índice n- dimensional es una n - tupla
α = ( α 1 , α 2 , ... , α norte ) {\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n})} de enteros no negativos (es decir, un elemento del conjunto n - dimensional de números naturales , denotado norte 0 norte {\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} ).
Para índices múltiples α , β ∈ norte 0 norte {\ Displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} y X = ( X 1 , X 2 , ... , X norte ) ∈ R norte {\ Displaystyle x = (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}} uno define:
Suma y diferencia por componentes α ± β = ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , ... , α norte ± β norte ) {\ Displaystyle \ alpha \ pm \ beta = (\ alpha _ {1} \ pm \ beta _ {1}, \, \ alpha _ {2} \ pm \ beta _ {2}, \ ldots, \, \ alpha _ {n} \ pm \ beta _ {n})} Orden parcial α ≤ β ⇔ α I ≤ β I ∀ I ∈ { 1 , ... , norte } {\ Displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad \ forall \, i \ in \ {1, \ ldots, n \}} Suma de componentes (valor absoluto) | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α norte {\ Displaystyle | \ alpha | = \ alpha _ {1} + \ alpha _ {2} + \ cdots + \ alpha _ {n}} Factorial α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α norte ! {\ Displaystyle \ alpha! = \ alpha _ {1}! \ cdot \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!} Coeficiente binomial ( α β ) = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α norte β norte ) = α ! β ! ( α - β ) ! {\ Displaystyle {\ binom {\ alpha} {\ beta}} = {\ binom {\ alpha _ {1}} {\ beta _ {1}}} {\ binom {\ alpha _ {2}} {\ beta _ {2}}} \ cdots {\ binom {\ alpha _ {n}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {\ alpha!} {\ Beta! (\ Alpha - \ beta)!} }} Coeficiente multinomial ( k α ) = k ! α 1 ! α 2 ! ⋯ α norte ! = k ! α ! {\ displaystyle {\ binom {k} {\ alpha}} = {\ frac {k!} {\ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}} = { \ frac {k!} {\ alpha!}}} dónde k : = | α | ∈ norte 0 {\ Displaystyle k: = | \ alpha | \ in \ mathbb {N} _ {0}} . Energía X α = X 1 α 1 X 2 α 2 ... X norte α norte {\ Displaystyle x ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n} }} . Derivada parcial de orden superior ∂ α = ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 ... ∂ norte α norte {\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ alpha} = \ parcial _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ parcial _ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots \ parcial _ {n} ^ {\ alpha _ {n}}} dónde ∂ I α I : = ∂ α I / ∂ X I α I {\ estilo de visualización \ parcial _ {i} ^ {\ alpha _ {i}}: = \ parcial ^ {\ alpha _ {i}} / \ parcial x_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}} (ver también gradiente 4 ). A veces la notación D α = ∂ α {\ Displaystyle D ^ {\ alpha} = \ parcial ^ {\ alpha}} también se utiliza. [1] La notación de índices múltiples permite la extensión de muchas fórmulas desde el cálculo elemental hasta el caso de múltiples variables correspondiente. A continuación se muestran algunos ejemplos. En todo lo siguiente, X , y , h ∈ C norte {\ Displaystyle x, y, h \ in \ mathbb {C} ^ {n}} (o R norte {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}} ), α , ν ∈ norte 0 norte {\ Displaystyle \ alpha, \ nu \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} , y F , gramo , a α : C norte → C {\ Displaystyle f, g, a _ {\ alpha} \ colon \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}} (o R norte → R {\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}} ).
Teorema multinomial ( ∑ I = 1 norte X I ) k = ∑ | α | = k ( k α ) X α {\ Displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} \ right) ^ {k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} {\ binom {k} {\ alpha }} \, x ^ {\ alpha}} Teorema multibinomial ( X + y ) α = ∑ ν ≤ α ( α ν ) X ν y α - ν . {\ Displaystyle (x + y) ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, x ^ {\ nu} y ^ {\ alpha - \ nu}.} Tenga en cuenta que, dado que x + y es un vector y α es un índice múltiple, la expresión de la izquierda es la abreviatura de ( x 1 + y 1 ) α 1 ⋯ ( x n + y n ) α n . Fórmula de Leibniz Para funciones suaves f y g ∂ α ( F gramo ) = ∑ ν ≤ α ( α ν ) ∂ ν F ∂ α - ν gramo . {\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ alpha} (fg) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} {\ binom {\ alpha} {\ nu}} \, \ parcial ^ {\ nu} f \, \ parcial ^ {\ alpha - \ nu} g.} Serie de taylor Para una función analítica f en n variables se tiene F ( X + h ) = ∑ α ∈ norte 0 norte ∂ α F ( X ) α ! h α . {\ Displaystyle f (x + h) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} {{\ frac {\ partial ^ {\ alpha} f (x)} { \ alpha!}} h ^ {\ alpha}}.} De hecho, para una función lo suficientemente suave, tenemos la expansión de Taylor similar F ( X + h ) = ∑ | α | ≤ norte ∂ α F ( X ) α ! h α + R norte ( X , h ) , {\ Displaystyle f (x + h) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq n} {{\ frac {\ parcial ^ {\ alpha} f (x)} {\ alpha!}} h ^ {\ alpha }} + R_ {n} (x, h),} donde el último término (el resto) depende de la versión exacta de la fórmula de Taylor. Por ejemplo, para la fórmula de Cauchy (con resto integral), se obtiene R norte ( X , h ) = ( norte + 1 ) ∑ | α | = norte + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 - t ) norte ∂ α F ( X + t h ) D t . {\ Displaystyle R_ {n} (x, h) = (n + 1) \ sum _ {| \ alpha | = n + 1} {\ frac {h ^ {\ alpha}} {\ alpha!}} \ int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {n} \ parcial ^ {\ alpha} f (x + th) \, dt.} Operador diferencial parcial lineal general Un operador diferencial parcial lineal formal de N -ésimo orden en n variables se escribe como PAG ( ∂ ) = ∑ | α | ≤ norte a α ( X ) ∂ α . {\ Displaystyle P (\ partial) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {a _ {\ alpha} (x) \ partial ^ {\ alpha}}.} Integración por partes Para funciones fluidas con soporte compacto en un dominio limitado Ω ⊂ R norte {\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}} uno tiene ∫ Ω tu ( ∂ α v ) D X = ( - 1 ) | α | ∫ Ω ( ∂ α tu ) v D X . {\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} u (\ parcial ^ {\ alpha} v) \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ Omega} {(\ parcial ^ {\ alpha} u) v \, dx}.} Esta fórmula se utiliza para la definición de distribuciones y derivadas débiles . Si α , β ∈ norte 0 norte {\ Displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n}} son índices múltiples y X = ( X 1 , ... , X norte ) {\ Displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} , luego
∂ α X β = { β ! ( β - α ) ! X β - α Si α ≤ β , 0 de lo contrario. {\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} = {\ begin {cases} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ alpha)!}} x ^ {\ beta - \ alpha } & {\ text {if}} ~ \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 & {\ text {de lo contrario.}} \ end {cases}}} Prueba La prueba se sigue de la regla de la potencia para la derivada ordinaria ; si α y β están en {0, 1, 2,…}, entonces
D α D X α X β = { β ! ( β - α ) ! X β - α Si α ≤ β , 0 de lo contrario. {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha}} {dx ^ {\ alpha}}} x ^ {\ beta} = {\ begin {cases} {\ frac {\ beta!} {(\ beta - \ alpha)!}} x ^ {\ beta - \ alpha} & {\ hbox {if}} \, \, \ alpha \ leq \ beta, \\ 0 & {\ hbox {de lo contrario.}} \ end {cases}} } ( 1 )
Suponer α = ( α 1 , ... , α norte ) {\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})} , β = ( β 1 , ... , β norte ) {\ Displaystyle \ beta = (\ beta _ {1}, \ ldots, \ beta _ {n})} , y X = ( X 1 , ... , X norte ) {\ Displaystyle x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} . Entonces tenemos eso
∂ α X β = ∂ | α | ∂ X 1 α 1 ⋯ ∂ X norte α norte X 1 β 1 ⋯ X norte β norte = ∂ α 1 ∂ X 1 α 1 X 1 β 1 ⋯ ∂ α norte ∂ X norte α norte X norte β norte . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ parcial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta} & = {\ frac {\ parcial ^ {\ vert \ alpha \ vert}} {\ parcial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ cdots \ parcial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots x_ {n} ^ {\ beta _ { n}} \\ & = {\ frac {\ parcial ^ {\ alpha _ {1}}} {\ parcial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}}}} x_ {1} ^ {\ beta _ {1}} \ cdots {\ frac {\ parcial ^ {\ alpha _ {n}}} {\ parcial x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}}}} x_ {n} ^ {\ beta _ { n}}. \ end {alineado}}} Para cada i en {1,…, n }, la función X I β I {\ Displaystyle x_ {i} ^ {\ beta _ {i}}} solo depende de X I {\ Displaystyle x_ {i}} . En lo anterior, cada diferenciación parcial ∂ / ∂ X I {\ estilo de visualización \ parcial / \ parcial x_ {i}} por lo tanto se reduce a la diferenciación ordinaria correspondiente D / D X I {\ Displaystyle d / dx_ {i}} . Por tanto, de la ecuación ( 1 ), se sigue que ∂ α X β {\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ alpha} x ^ {\ beta}} desaparece si α i > β i para al menos una i en {1,…, n }. Si este no es el caso, es decir, si α ≤ β como índices múltiples, entonces
D α I D X I α I X I β I = β I ! ( β I - α I ) ! X I β I - α I {\ Displaystyle {\ frac {d ^ {\ alpha _ {i}}} {dx_ {i} ^ {\ alpha _ {i}}}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i}} = {\ frac {\ beta _ {i}!} {(\ beta _ {i} - \ alpha _ {i})!}} x_ {i} ^ {\ beta _ {i} - \ alpha _ {i}}} para cada I {\ Displaystyle i} y el teorema sigue. QED ^ Reed, M .; Simon, B. (1980). Métodos de Física Matemática Moderna: Análisis Funcional I (Ed. Revisada y ampliada). San Diego: Prensa académica. pag. 319. ISBN 0-12-585050-6 . San Raymond, Xavier (1991). Introducción elemental a la teoría de operadores pseudodiferenciales . Capítulo 1.1. Prensa CRC. ISBN 0-8493-7158-9 Este artículo incorpora material derivado de múltiples índices de un poder en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .