En matemáticas, la función gamma múltiple es una generalización de la función gamma de Euler y la función G de Barnes . Barnes (1901) estudió la función doble gamma . Al final de este artículo mencionó la existencia de múltiples funciones gamma generalizándolas, y las estudió más a fondo en Barnes (1904) .
Funciones de doble gamma están estrechamente relacionados con la función q-gamma y las funciones triple gammaestán relacionados con la función gamma elíptica .
Para , dejar
dónde es la función zeta de Barnes . (Esto difiere por una constante de la definición original de Barnes).
Considerado como una función meromórfica de, no tiene ceros. Tiene postes enpara enteros no negativos . Estos polos son simples a menos que algunos de ellos coincidan. Hasta la multiplicación por la exponencial de un polinomio, es la función meromórfica única de orden finito con estos polos y ceros.
La función gamma múltiple tiene una representación de producto infinita que hace manifiesto que es meromórfica, y que también manifiesta las posiciones de sus polos. En el caso de la función gamma doble, esta representación es [1]
donde definimos el -coeficientes independientes
dónde es un -residuo de tercer orden en .
La función de doble gamma con parámetros obedece las relaciones [1]
Está relacionado con la función G de Barnes por
Para y , la función
es invariante bajo , y obedece a las relaciones
Para , tiene la representación integral
De la función , definimos la función de doble seno y la función Upsilon por
Estas funciones obedecen a las relaciones
más las relaciones que se obtienen por . Para tienen las representaciones integrales
Las funciones y aparecen en funciones de correlación de la teoría de campos conforme bidimensional , con el parámetroestando relacionado con la carga central del álgebra de Virasoro subyacente . [2] En particular, la función de tres puntos de la teoría de Liouville se escribe en términos de la función.