En la teoría matemática de la probabilidad, las distribuciones de Laplace multivariadas son extensiones de la distribución de Laplace y la distribución asimétrica de Laplace a múltiples variables. Las distribuciones marginales de las variables de distribución de Laplace multivariadas simétricas son distribuciones de Laplace. Las distribuciones marginales de las variables de distribución asimétricas multivariadas de Laplace son distribuciones asimétricas de Laplace. [1]
Parámetros | μ ∈ R k - ubicación Σ ∈ R k × k - covarianza ( matriz definida positiva ) | ||
---|---|---|---|
Apoyo | x ∈ μ + intervalo ( Σ ) ⊆ R k | ||
| |||
Significar | μ | ||
Modo | μ | ||
Diferencia | Σ | ||
Oblicuidad | 0 | ||
CF |
Parámetros | μ ∈ R k - ubicación Σ ∈ R k × k - covarianza ( matriz definida positiva ) | ||
---|---|---|---|
Apoyo | x ∈ μ + intervalo ( Σ ) ⊆ R k | ||
dónde y es la función de Bessel modificada del segundo tipo . | |||
Significar | μ | ||
Diferencia | Σ + μ ' μ | ||
Oblicuidad | distinto de cero a menos que μ = 0 | ||
CF |
Distribución de Laplace simétrica multivariante
Una caracterización típica de la distribución de Laplace multivariada simétrica tiene la función característica :
dónde es el vector de medias para cada variable yes la matriz de covarianza . [2]
A diferencia de la distribución normal multivariada , incluso si la matriz de covarianza tiene covarianza y correlación cero, las variables no son independientes. [1] La distribución de Laplace simétrica multivariante es elíptica . [1]
Función de densidad de probabilidad
Si , la función de densidad de probabilidad (pdf) para una distribución de Laplace multivariada k -dimensional se convierte en:
dónde:
y es la función de Bessel modificada del segundo tipo . [1]
En el caso bivariado correlacionado, es decir, k = 2, con el pdf se reduce a:
dónde:
y son las desviaciones estándar de y , respectivamente, y es el coeficiente de correlación de y . [1]
Para el caso de Laplace bivariado independiente, es decir k = 2, y , el pdf se convierte en:
Distribución de Laplace asimétrica multivariante
Una caracterización típica de la distribución asimétrica multivariante de Laplace tiene la función característica :
Al igual que con la distribución de Laplace multivariada simétrica, la distribución de Laplace multivariada asimétrica tiene media , pero la covarianza se convierte en . [3] La distribución asimétrica multivariante de Laplace no es elíptica a menos que, en cuyo caso la distribución se reduce a la distribución de Laplace multivariada simétrica con . [1]
La función de densidad de probabilidad (pdf) para una distribución de Laplace multivariada asimétrica k -dimensional es:
dónde:
y es la función de Bessel modificada del segundo tipo . [1]
La distribución asimétrica de Laplace, incluido el caso especial de , es un ejemplo de distribución estable geométrica . [3] Representa la distribución límite para una suma de variables aleatorias independientes distribuidas de forma idéntica con varianza y covarianza finitas, donde el número de elementos a sumar es en sí mismo una variable aleatoria independiente distribuida de acuerdo con una distribución geométrica . [1] Tales sumas geométricas pueden surgir en aplicaciones prácticas dentro de la biología, la economía y los seguros. [1] La distribución también puede ser aplicable en situaciones más amplias para modelar datos multivariados con colas más pesadas que una distribución normal pero momentos finitos . [1]
La relación entre la distribución exponencial y la distribución de Laplace permite un método simple para simular variables de Laplace asimétricas bivariadas (incluso para el caso de). Simular un vector de variable aleatoria normal bivariado de una distribución con y matriz de covarianza . Simule independientemente una variable aleatoria exponencial W a partir de una distribución Exp (1). será distribuido (asimétrico) bivariado de Laplace con media y matriz de covarianza . [1]
Referencias
- ^ a b c d e f g h i j k l m Kotz. Samuel; Kozubowski, Tomasz J .; Podgorski, Krzysztof (2001). La distribución y generalizaciones de Laplace . Birkhauser. págs. 229–245. ISBN 0817641661.
- ^ Fragiadakis, Konstantinos & Meintanis, Simos G. (marzo de 2011). "Pruebas de bondad de ajuste para distribuciones de Laplace multivariadas". Modelado matemático e informático . 53 (5–6): 769–779. doi : 10.1016 / j.mcm.2010.10.014 .CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
- ^ a b Kozubowski, Tomasz J .; Podgorski, Krzysztof; Rychlik, Igor (2010). "Multivariante generalizar distribuciones de Laplace y campos aleatorios relacionados" (PDF) . Universidad de Gotemburgo . Consultado el 28 de mayo de 2017 .