En teoría de probabilidad y estadística , la distribución asimétrica de Laplace (ALD) es una distribución de probabilidad continua que es una generalización de la distribución de Laplace . Así como la distribución de Laplace consta de dos distribuciones exponenciales de igual escala consecutivas alrededor de x = m , la distribución asimétrica de Laplace consiste en dos distribuciones exponenciales de escala desigual espalda con espalda alrededor de x = m , ajustadas para asegurar continuidad y normalización. La diferencia de dos variables distribuidas exponencialmentecon diferentes medias y parámetros de tasa se distribuirán según el ALD. Cuando los dos parámetros de tasa son iguales, la diferencia se distribuirá de acuerdo con la distribución de Laplace.
Función de densidad de probabilidad PDF asimétrico de Laplace con m = 0 en rojo. Tenga en cuenta que las curvas κ = 2 y 1/2 son imágenes especulares. La curva κ = 1 en azul es la distribución simétrica de Laplace . | |||
Función de distribución acumulativa CDF asimétrico de Laplace con m = 0 en rojo. | |||
Parámetros | ubicación ( real ) | ||
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Apoyo | |||
(ver artículo) | |||
CDF | (ver artículo) | ||
Significar | |||
Mediana | Si Si | ||
Diferencia | |||
Oblicuidad | |||
Ex. curtosis | |||
Entropía | |||
CF |
Caracterización
Función de densidad de probabilidad
Una variable aleatoria tiene una distribución asimétrica de Laplace ( m , λ , κ ) si su función de densidad de probabilidad es [1] [2]
donde s = sgn (xm) , o alternativamente:
Aquí, m es un parámetro de ubicación , λ > 0 es un parámetro de escala y κ es un parámetro de asimetría . Cuando κ = 1, (xm) s κ s se simplifica a | xm | y la distribución se simplifica a la distribución de Laplace .
Función de distribución acumulativa
La función de distribución acumulativa viene dada por:
Función característica
La función característica ALD viene dada por:
Para m = 0, el ALD es un miembro de la familia de distribuciones geométricas estables con α = 2. Se deduce que si y son dos funciones características ALD distintas con m = 0, entonces
es también una función característica ALD con parámetro de ubicación . El nuevo parámetro de escala λ obedece
y el nuevo parámetro de asimetría κ obedece:
Momentos, media, varianza, asimetría
El n -ésimo momento del ALD alrededor de m viene dado por
A partir del teorema del binomio , el n -ésimo momento con respecto a cero (para m no cero) es entonces:
dónde es la función integral exponencial generalizada
El primer momento alrededor de cero es la media:
La varianza es:
y la asimetría es:
Generación de variantes asimétricas de Laplace
Las variantes asimétricas de Laplace ( X ) se pueden generar a partir de una variable aleatoria U extraída de la distribución uniforme en el intervalo (-κ, 1 / κ) mediante:
donde s = sgn (U).
También pueden generarse como la diferencia de dos distribuciones exponenciales . Si X 1 se extrae de una distribución exponencial con media y tasa ( m 1 , λ / κ) y X 2 se extrae de una distribución exponencial con media y tasa ( m 2 , λκ), entonces X 1 - X 2 se distribuye de acuerdo con la distribución asimétrica de Laplace con parámetros ( m1-m2 , λ, κ)
Entropía
La entropía diferencial del ALD es
El ALD tiene la entropía máxima de todas las distribuciones con un valor fijo (1 / λ) de dónde .
Parametrización alternativa
Una parametrización alternativa es posible gracias a la función característica:
dónde es un parámetro de ubicación ,es un parámetro de escala ,es un parámetro de asimetría . Esto se especifica en la Sección 2.6.1 y la Sección 3.1 de Lihn (2015). [3] Su función de densidad de probabilidad es
dónde y . Resulta que.
El n -ésimo momento sobre es dado por
La media de cero es:
La varianza es:
La asimetría es:
El exceso de curtosis es:
Para pequeños , la asimetría se trata de . Por lo tanto representa la asimetría de una manera casi directa.
Referencias
- ^ Kozubowski, Tomasz J .; Podgorski, Krzysztof (2000). "Una generalización asimétrica y multivariante de la distribución de Laplace" . Estadística computacional . 15 (4): 531. doi : 10.1007 / PL00022717 . S2CID 124839639 . Consultado el 29 de diciembre de 2015 .
- ^ Jammalamadaka, S. Rao; Kozubowski, Tomasz J. (2004). "Nuevas familias de distribuciones envueltas para modelar datos circulares sesgados" (PDF) . Comunicaciones en estadística: teoría y métodos . 33 (9): 2059-2074. doi : 10.1081 / STA-200026570 . S2CID 17024930 . Consultado el 13 de junio de 2011 .
- ^ Lihn, Stephen H.-T. (2015). "El modelo de fijación de precios de la opción elíptica especial y la sonrisa de volatilidad" . SSRN : 2707810 . Consultado el 5 de septiembre de 2017 .