En matemáticas, un plano proyectivo falso (o superficie de Mumford ) es una de las 50 superficies algebraicas complejas que tienen los mismos números de Betti que el plano proyectivo , pero no son isomorfas a él. Tales objetos son siempre superficies algebraicas de tipo general .
Historia
Severi preguntó si había una superficie compleja homeomórfica para el plano proyectivo pero no biholomórfica para él. Yau (1977) mostró que no existía tal superficie, por lo que la aproximación más cercana al plano proyectivo que uno puede tener sería una superficie con los mismos números de Betti ( b 0 , b 1 , b 2 , b 3 , b 4 ) = ( 1,0,1,0,1) como el plano proyectivo. El primer ejemplo fue encontrado por Mumford (1979) usando la uniformización p -ádica introducida independientemente por Kurihara y Mustafin. Mumford también observó que el resultado de Yau junto con el teorema de Weil sobre la rigidez de subgrupos cocompactos discretos de PU (1,2) implica que solo hay un número finito de planos proyectivos falsos. Ishida y Kato (1998) encontraron dos ejemplos más, utilizando métodos similares, y Keum (2006) encontró un ejemplo con un automorfismo de orden 7 que es biracional a una cobertura cíclica de grado 7 de una superficie de Dolgachev . Prasad & Yeung (2007) , Prasad & Yeung (2010) encontraron una forma sistemática de clasificar todos los planos proyectivos falsos, mostrando que hay veintiocho clases, cada una de las cuales contiene al menos un ejemplo de plano proyectivo falso hasta la isometría, y que puede haber como máximo cinco clases más que luego se demostró que no existían. El problema de enumerar todos los planos proyectivos falsos se reduce a enumerar todos los subgrupos de índice apropiado de una celosía explícitamente dada asociada a cada clase. Al ampliar estos cálculos, Cartwright y Steger (2010) demostraron que las veintiocho clases agotan todas las posibilidades de planos proyectivos falsos y que hay en total 50 ejemplos determinados hasta la isometría, o 100 planos proyectivos falsos hasta el biholomorfismo.
Una superficie de tipo general con los mismos números de Betti que una superficie mínima que no sea de tipo general debe tener los números de Betti de un plano proyectivo P 2 o de un cuadrático P 1 × P 1 . Shavel (1978) construyó algunas "falsas cuadrículas": superficies de tipo general con los mismos números de Betti que las cuadrículas. Las superficies de Beauville dan más ejemplos.
Los análogos de dimensiones superiores de superficies proyectivas falsas se denominan espacios proyectivos falsos .
El grupo fundamental
Como consecuencia del trabajo de Aubin y Yau sobre la solución de la conjetura de Calabi en el caso de la curvatura de Ricci negativa, ver Yau ( 1977 , 1978 ), cualquier plano proyectivo falso es el cociente de una bola unitaria compleja en 2 dimensiones por un subgrupo discreto. , que es el grupo fundamental del falso plano proyectivo. Por tanto, este grupo fundamental debe ser un subgrupo discreto cocompacto y libre de torsión de PU (2,1) de la característica 3 de Euler-Poincaré . Klingler (2003) y Yeung (2004) demostraron que este grupo fundamental también debe ser un grupo aritmético . Los resultados de fuerte rigidez de Mostow implican que el grupo fundamental determina el plano falso, en el sentido fuerte de que cualquier superficie compacta con el mismo grupo fundamental debe ser isométrica a él.
Se define que dos planos proyectivos falsos pertenecen a la misma clase si sus grupos fundamentales están contenidos en el mismo subgrupo aritmético máximo de automorfismos de la bola unitaria. Prasad y Yeung (2007) , Prasad y Yeung (2010) utilizaron la fórmula de volumen para grupos aritméticos de ( Prasad 1989 ) para enumerar 28 clases no vacías de planos proyectivos falsos y mostrar que puede haber como máximo cinco clases adicionales que no son se espera que exista. (Véase el apéndice del artículo donde se refinó la clasificación y se corrigieron algunos errores en el artículo original.) Cartwright y Steger (2010) verificaron que las cinco clases adicionales de hecho no existían y enumeraron todas las posibilidades dentro de las veintiocho clases. Hay exactamente 50 planos proyectivos falsos clasificados hasta la isometría y, por lo tanto, 100 planos proyectivos falsos distintos clasificados hasta el biholomorfismo.
El grupo fundamental del plano proyectivo falso es un subgrupo aritmético de PU (2,1). Escriba k para el campo numérico asociado (un campo totalmente real) y G para la forma k asociada de PU (2,1). Si l es la extensión cuadrática de k sobre la cual G es una forma interna, entonces l es un campo totalmente imaginario. Hay un álgebra de división D con centro ly grado sobre l 3 o 1, con una involución del segundo tipo que se restringe al automorfismo no trivial de l sobre k , y una forma hermitiana no trivial en un módulo sobre D de dimensión 1 o 3 tal que G es el grupo unitario especial de esta forma hermitiana. (Como consecuencia de Prasad y Yeung (2007) y el trabajo de Cartwright y Steger, D tiene grado 3 sobre ly el módulo tiene dimensión 1 sobre D. ) Hay un lugar real de k tal que los puntos de G forman un copia de PU (2,1), y sobre todos los demás lugares reales de k forman el grupo compacto PU (3).
A partir del resultado de Prasad y Yeung (2007) , el grupo de automorfismo de un plano proyectivo falso es cíclico de orden 1, 3 o 7, o el grupo no cíclico de orden 9, o el grupo no abeliano de orden 21. Los cocientes de los planos proyectivos falsos de estos grupos fueron estudiados por Keum (2008) y también por Cartwright & Steger (2010) .
Lista de los 50 planos proyectivos falsos
k | l | T | índice | Aviones proyectivos falsos |
---|---|---|---|---|
Q | Q ( √ −1 ) | 5 | 3 | 3 aviones falsos en 3 clases |
Q ( √ −2 ) | 3 | 3 | 3 aviones falsos en 3 clases | |
Q ( √ −7 ) | 2 | 21 | 7 aviones falsos en 2 clases. Una de estas clases contiene los ejemplos de Mumford y Keum. | |
2, 3 | 3 | 4 aviones falsos en 2 clases | ||
2, 5 | 1 | 2 aviones falsos en 2 clases | ||
Q ( √ −15 ) | 2 | 3 | 10 aviones falsos en 4 clases, incluidos los ejemplos fundados por Ishida y Kato. | |
Q ( √ −23 ) | 2 | 1 | 2 aviones falsos en 2 clases | |
Q ( √ 2 ) | Q ( √ −7 + 4 √ 2 ) | 2 | 3 | 2 aviones falsos en 2 clases |
Q ( √ 5 ) | Q ( √ 5 , ζ 3 ) | 2 | 9 | 7 aviones falsos en 2 clases |
Q ( √ 6 ) | Q ( √ 6 , ζ 3 ) | 2 o 2,3 | 1 o 3 o 9 | 5 aviones falsos en 3 clases |
Q ( √ 7 ) | Q ( √ 7 , ζ 4 ) | 2 o 3,3 | 21 o 3,3 | 5 aviones falsos en 3 clases |
- k es un campo totalmente real.
- l es una extensión cuadrática totalmente imaginaria de k , y ζ 3 es una raíz cúbica de 1.
- T es un conjunto de números primos de k donde un determinado subgrupo local no es hiperespecial.
- índice es el índice del grupo fundamental en un determinado grupo aritmético.
Referencias
- Cartwright, Donald I .; Steger, Tim (2010), "Enumeración de los 50 planos proyectivos falsos", Comptes Rendus Mathématique , 348 (1): 11-13, doi : 10.1016 / j.crma.2009.11.016
- Ishida, Masa-Nori; Kato, Fumiharu (1998), "El teorema de rigidez fuerte para la uniformización no arquimediana", The Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 50 (4): 537–555, doi : 10.2748 / tmj / 1178224897 , MR 1653430
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enlaces externos
- Prasad, Gopal, espacios proyectivos falsos