En álgebra , un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo de modo que cero es el único elemento aniquilado por un elemento regular ( divisor no cero ) del anillo. En otras palabras, un módulo está libre de torsión si su submódulo de torsión se reduce a su elemento cero.
En dominios integrales, los elementos regulares del anillo son sus elementos distintos de cero, por lo que en este caso un módulo libre de torsión es uno tal que cero es el único elemento aniquilado por algún elemento distinto de cero del anillo. Algunos autores trabajan solo sobre dominios integrales y usan esta condición como la definición de un módulo libre de torsión, pero esto no funciona bien en anillos más generales, ya que si el anillo contiene divisores de cero, entonces el único módulo que satisface esta condición es el cero. módulo .
Ejemplos de módulos sin torsión
Sobre un anillo conmutativo R con un anillo de cociente total K , un módulo M está libre de torsión si y solo si Tor 1 ( K / R , M ) desaparece. Por lo tanto, los módulos planos , y en particular los módulos libres y proyectivos, están libres de torsión, pero no es necesario que ocurra lo contrario. Un ejemplo de un módulo libre de torsión que no es plano es el ideal ( x , y ) del anillo polinomial k [ x , y ] sobre un campo k , interpretado como un módulo sobre k [ x , y ].
Cualquier módulo sin torsión es un módulo sin torsión, pero lo contrario no es cierto, ya que Q es un módulo Z sin torsión que no es sin torsión.
Estructura de módulos sin torsión
En un dominio integral noetheriano , los módulos libres de torsión son los módulos cuyo único primo asociado es cero. De manera más general, sobre un anillo conmutativo noetheriano, los módulos sin torsión son aquellos módulos cuyos números primos asociados están contenidos en los primos asociados del anillo.
Sobre un dominio noetheriano integralmente cerrado , cualquier módulo libre de torsión generado finitamente tiene un submódulo libre de modo que el cociente por él es isomorfo a un ideal del anillo.
En un dominio de Dedekind , un módulo generado finita está libre de torsión si y solo si es proyectivo, pero en general no es libre. Cualquier módulo de este tipo es isomorfo a la suma de un módulo libre generado finitamente y un ideal, y la clase del ideal está determinada únicamente por el módulo.
Sobre un dominio ideal principal , los módulos generados finitamente están libres de torsión si y solo si son libres.
Cubiertas sin torsión
Sobre un dominio integral, cada módulo M tiene una cubierta libre de torsión F → M desde un módulo libre de torsión F a M , con las propiedades que cualquier otro módulo libre de torsión mapee en M factores a través de F , y cualquier endomorfismo de F sobre M es un automorfismo de F . Una cubierta de M sin torsión de este tipo es única hasta el isomorfismo. Las cubiertas sin torsión están estrechamente relacionadas con las cubiertas planas .
Poleas cuasicoherentes sin torsión
Un haz cuasicoherente F sobre un esquema X es un haz de-módulos tales que para cualquier subesquema afín abierto U = Spec ( R ) la restricción F | U está asociado a algún módulo M sobre R . Se dice que la gavilla F está libre de torsión si todos esos módulos M están libres de torsión sobre sus respectivos anillos. Alternativamente, F está libre de torsión si y solo si no tiene secciones de torsión local. [1]
Ver también
- Torsión (álgebra)
- grupo abeliano sin torsión
- grupo abeliano sin torsión de rango 1 ; la teoría de la clasificación existe para esta clase.
Referencias
- "Módulo libre de torsión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Matlis, Eben (1972), módulos libres de torsión , The University of Chicago Press, Chicago-London, MR 0344237
- Autores del proyecto Stacks, Proyecto Stacks