En la teoría matemática de grupos finitos , un grupo N es un grupo cuyos subgrupos locales (es decir, los normalizadores de subgrupos p no triviales) son grupos solubles . Los que no se pueden resolver fueron clasificados por Thompson durante su trabajo para encontrar todos los grupos simples finitos mínimos.
N-grupos simples
Los grupos N simples fueron clasificados por Thompson ( 1968 , 1970 , 1971 , 1973 , 1974 , 1974b ) en una serie de 6 artículos con un total de aproximadamente 400 páginas.
Los grupos N simples consisten en los grupos lineales especiales PSL 2 ( q ), PSL 3 (3), los grupos Suzuki Sz (2 2 n +1 ), el grupo unitario U 3 (3), el grupo alterno A 7 , el grupo Mathieu M 11 y el grupo Tits . (El grupo Tits se pasó por alto en el anuncio original de Thomson en 1968, pero Hearn señaló que también era un grupo N simple). De manera más general, Thompson mostró que cualquier grupo N no soluble es un subgrupo de Aut ( G ) que contiene G para algunos simples N-grupo G .
Gorenstein y Lyons (1976) generalizaron el teorema de Thompson al caso de grupos donde todos los subgrupos 2-locales son solubles. Los únicos grupos extra simples que aparecen son los grupos unitarios U 3 ( q ).
Prueba
Gorenstein (1980 , 16.5) da un resumen de la clasificación de Thompson de N-grupos.
Los números primos que dividen el orden del grupo se dividen en cuatro clases π 1 , π 2 , π 3 , π 4 de la siguiente manera
- π 1 es el conjunto de primos p tales que un subgrupo p de Sylow no es trivial y cíclico.
- π 2 es el conjunto de primos p tal que un p -subgrupo P de Sylow no es cíclico pero SCN 3 ( P ) está vacío
- π 3 es el conjunto de primos p tal que un p -subgrupo P de Sylow tiene SCN 3 ( P ) no vacío y normaliza un subgrupo abeliano no trivial de orden primo ap .
- π 4 es el conjunto de primos p tal que un p -subgrupo P de Sylow tiene SCN 3 ( P ) no vacío pero no normaliza un subgrupo abeliano no trivial de orden primo ap .
La demostración se subdivide en varios casos dependiendo de a cuál de estas cuatro clases pertenece el primo 2, y también en un número entero e , que es el entero más grande para el que existe un subgrupo abeliano elemental de rango e normalizado por un subgrupo 2 no trivial. intersecándolo trivialmente.
- Thompson (1968) Da una introducción general, enunciando el teorema principal y demostrando muchos lemas preliminares.
- Thompson (1970) caracteriza los grupos E 2 (3) y S 4 (3) (en notación de Thompson; estos son el grupo excepcional G 2 (3) y el grupo simpléctico Sp 4 (3)) que no son grupos N sino cuyas caracterizaciones son necesarias en la demostración del teorema principal.
- Thompson (1971) cubre el caso donde 2∉π 4 . El teorema 11.2 muestra que si 2∈π 2 entonces el grupo es PSL 2 ( q ), M 11 , A 7 , U 3 (3) o PSL 3 (3). La posibilidad de que 2∈π 3 se descarte mostrando que tal grupo debe ser un grupo C y utilizando la clasificación de Suzuki de grupos C para comprobar que ninguno de los grupos encontrados por Suzuki satisface esta condición.
- Thompson (1973) y Thompson (1974) cubren los casos cuando 2∈π 4 y e ≥3, o e = 2. Demuestra que G es un grupo C y, por lo tanto, un grupo Suzuki, o satisface su caracterización de los grupos E 2 (3) y S 4 (3) en su segundo artículo, que no son grupos N.
- Thompson (1974) cubre el caso en 2∈π 4 y e = 1, donde las únicas posibilidades son que G es un C-grupo o el grupo Tits .
Consecuencias
Un grupo simple mínimo es un grupo simple no cíclico cuyos subgrupos adecuados se pueden resolver. La lista completa de grupos simples finitos mínimos se da como sigue Thompson (1968 , corolario 1)
- PSL 2 (2 p ), p un primo.
- PSL 2 (3 p ), p un primo impar.
- PSL 2 ( p ), p > 3 un primo congruente con 2 o 3 mod 5
- Sz (2 p ), p un primo impar.
- PSL 3 (3)
En otras palabras, un grupo simple finito no cíclico debe tener un subquotiente isomorfo a uno de estos grupos.
Referencias
- Gorenstein, D .; Lyons, Richard (1976), "Grupos finitos no solubles con dos subgrupos locales solubles", Journal of Algebra , 38 (2): 453–522, doi : 10.1016 / 0021-8693 (76) 90233-7 , ISSN 0021-8693 , MR 0407128
- Gorenstein, D. (1980), Grupos finitos , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-0301-6, MR 0569209
- Thompson, John G. (1968), "Grupos finitos no solubles cuyos subgrupos locales son solubles" , Boletín de la American Mathematical Society , 74 (3): 383–437, doi : 10.1090 / S0002-9904-1968-11953- 6 , ISSN 0002 hasta 9904 , MR 0230809
- Thompson, John G. (1970), "Grupos finitos no solubles cuyos subgrupos locales se pueden resolver. II" , Pacific Journal of Mathematics , 33 (2): 451–536, doi : 10.2140 / pjm.1970.33.451 , ISSN 0030 -8730 , MR 0276325
- Thompson, John G. (1971), "Grupos finitos no solubles cuyos subgrupos locales se pueden resolver. III" , Pacific Journal of Mathematics , 39 (2): 483–534, doi : 10.2140 / pjm.1971.39.483 , ISSN 0030 -8730 , MR 0313378
- Thompson, John G. (1973), "Grupos finitos no solubles cuyos subgrupos locales se pueden resolver. IV" , Pacific Journal of Mathematics , 48 (2): 511–592, doi : 10.2140 / pjm.1973.48.511 , ISSN 0030 -8730 , MR 0369512
- Thompson, John G. (1974), "Grupos finitos no solubles cuyos subgrupos locales se pueden resolver. V" , Pacific Journal of Mathematics , 50 : 215-297, doi : 10.2140 / pjm.1974.50.215 , ISSN 0030-8730 , Señor 0369512
- Thompson, John G. (1974b), "Grupos finitos no solubles cuyos subgrupos locales se pueden resolver. VI" , Pacific Journal of Mathematics , 51 (2): 573–630, doi : 10.2140 / pjm.1974.51.573 , ISSN 0030 -8730 , MR 0369512