En el área de álgebra moderna conocida como teoría de grupos , los grupos de Suzuki , denotadas por Sz (2 2 n 1 ), 2 B 2 (2 2 n +1 ), Suz (2 2 n 1 ), o G (2 2 n +1 ), forman una familia infinita de grupos de tipo Lie encontrada por Suzuki ( 1960 ), que son simples para n ≥ 1. Estos grupos simples son los únicos finitos no abelianos con órdenes no divisibles por 3.
Construcciones
Suzuki
Suzuki (1960) construyó originalmente los grupos de Suzuki como subgrupos de SL 4 ( F 2 2 n +1 ) generados por ciertas matrices explícitas.
Ree
Ree observó que los grupos de Suzuki eran los puntos fijos de automorfismos excepcionales de algunos grupos simplécticos de dimensión 4, y usó esto para construir otras dos familias de grupos simples, llamados grupos Ree . En el caso más bajo, el grupo simpléctico B 2 (2) ≈S 6 ; su excepcional automorfismo fija el subgrupo Sz (2) o 2 B 2 (2), de orden 20. Ono ( 1962 ) dio una exposición detallada de la observación de Ree.
Tetas
Tits ( 1962 ) construyó los grupos de Suzuki como las simetrías de un cierto ovoide en un espacio proyectivo tridimensional sobre un campo de característica 2.
Wilson
Wilson ( 2010 ) construyó los grupos de Suzuki como el subgrupo del grupo simpléctico en 4 dimensiones preservando un determinado producto en pares de vectores ortogonales.
Propiedades
Sea q = 2 2n + 1 , r = 2 n , n un número entero no negativo.
Los grupos de Suzuki Sz (q) o 2 B 2 (q) son simples para n ≥1. El grupo Sz (2) se puede resolver y es el grupo de Frobenius de orden 20.
Los grupos de Suzuki Sz (q) tienen órdenes q 2 ( q 2 +1) ( q −1). Estos grupos tienen órdenes divisibles por 5, no por 3.
El multiplicador de Schur es trivial para n > 1, Klein 4-grupo para n = 1, es decir, Sz (8).
El grupo de automorfismos externos es cíclico de orden 2 n +1, dado por automorfismos del campo de orden q .
El grupo Suzuki son grupos de Zassenhaus que actúan sobre conjuntos de tamaño (2 2 n +1 ) 2 +1, y tienen representaciones de 4 dimensiones sobre el campo con 2 2 n +1 elementos.
Los grupos Suzuki son grupos CN : el centralizador de cada elemento no trivial es nilpotente .
Subgrupos
Cuando n es un número entero positivo. Sz (q) tiene al menos 4 tipos de subgrupos máximos.
El subgrupo diagonal es cíclico, de orden q - 1.
- El subgrupo triangular inferior (Borel) y sus conjugados, de orden q 2 · (q-1). Son estabilizadores de un punto en una representación de permutación doblemente transitiva de Sz (q).
- El grupo diedro D q-1 , normalizador del subgrupo diagonal, y conjugados.
- C q + 2r + 1 : 4
- C q-2r + 1 : 4
- Grupos Suzuki más pequeños, cuando 2n + 1 es compuesto.
O q + 2r + 1 o q-2r + 1 es divisible por 5, de modo que Sz (q) contiene el grupo de Frobenius C 5 : 4.
Clases conjugadas
Suzuki ( 1960 ) mostró que el grupo Suzuki tiene q +3 clases de conjugación. De estos, q +1 son fuertemente reales, y los otros dos son clases de elementos de orden 4.
- q 2 +1 Sylow 2-subgrupos de orden q 2 , de índice q –1 en sus normalizadores. 1 clase de elementos de orden 2, 2 clases de elementos de orden 4.
- q 2 ( q 2 +1) / 2 subgrupos cíclicos de orden q –1, de índice 2 en sus normalizadores. Éstos dan cuenta de ( q –2) / 2 clases de conjugación de elementos no triviales.
- Subgrupos cíclicos de orden q +2 r +1, de índice 4 en sus normalizadores. Estos representan ( q +2 r ) / 4 clases de conjugación de elementos no triviales.
- Subgrupos cíclicos de orden q –2 r +1, de índice 4 en sus normalizadores. Éstos dan cuenta de ( q –2 r ) / 4 clases de conjugación de elementos no triviales.
Los normalizadores de todos estos subgrupos son grupos de Frobenius.
Caracteres
Suzuki (1960) mostró que el grupo Suzuki tiene q +3 representaciones irreductibles sobre los números complejos, 2 de los cuales son complejos y el resto son reales. Se dan de la siguiente manera:
- El carácter trivial del grado 1.
- La representación de Steinberg de grado q 2 , procedente de la representación de permutación doblemente transitiva.
- ( q –2) / 2 caracteres de grado q 2 +1
- Dos caracteres complejos de grado r ( q –1) donde r = 2 n
- ( q +2 r ) / 4 caracteres de grado ( q –2 r +1) ( q –1)
- ( q –2 r ) / 4 caracteres de grado ( q +2 r +1) ( q –1).
Referencias
- Nouacer, Ziani (1982), "Caractères et sous-groupes des groupes de Suzuki" , Diagrammes , 8 : ZN1 – ZN29, ISSN 0224-3911 , MR 0780446
- Ono, Takashi (1962), "Una identificación de grupos de Suzuki con grupos de tipo Lie generalizado", Annals of Mathematics , Second Series, 75 (2): 251-259, doi : 10.2307 / 1970173 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970173 , MR 0132780
- Suzuki, Michio (1960), "Un nuevo tipo de grupos simples de orden finito", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 46 (6): 868-870, doi : 10.1073 / pnas.46.6. 868 , ISSN 0027-8424 , JSTOR 70960 , MR 0120283 , PMC 222949 , PMID 16590684
- Suzuki, Michio (1962), "En una clase de grupos doblemente transitivos", Annals of Mathematics , Second Series, 75 (1): 105-145, doi : 10.2307 / 1970423 , hdl : 2027 / mdp.39015095249804 , ISSN 0003- 486x , JSTOR 1.970.423 , MR 0136646
- Tits, Jacques (1962), "Ovoïdes et groupes de Suzuki", Archiv der Mathematik , 13 : 187–198, doi : 10.1007 / BF01650065 , ISSN 0003-9268 , MR 0140572
- Wilson, Robert A. (2010), "A new approach to the Suzuki groups", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 148 (3): 425–428, doi : 10.1017 / S0305004109990399 , ISSN 0305-0041 , MR 2609300
enlaces externos
- http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz8/
- http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/exc/Sz32/