Formalismo de Newman-Penrose

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El formalismo de Newman-Penrose ( NP ) ^{[1] [2]} es un conjunto de notación desarrollado por Ezra T. Newman y Roger Penrose para la relatividad general (GR). Su notación es un esfuerzo por tratar la relatividad general en términos de notación de espinor , que introduce formas complejas de las variables habituales utilizadas en GR. El formalismo NP es en sí mismo un caso especial del formalismo tétrada , ^[3]donde los tensores de la teoría se proyectan sobre una base vectorial completa en cada punto del espacio-tiempo. Por lo general, esta base vectorial se elige para reflejar alguna simetría del espacio-tiempo, lo que lleva a expresiones simplificadas para observables físicos. En el caso del formalismo NP, la base vectorial elegida es una tétrada nula : un conjunto de cuatro vectores nulos: dos reales y un par complejo conjugado. Los dos miembros reales apuntan asintóticamente radialmente hacia adentro y radialmente hacia afuera, y el formalismo se adapta bien al tratamiento de la propagación de la radiación en el espacio-tiempo curvo. Los escalares de Weyl , derivados del tensor de Weyl , se utilizan a menudo. En particular, se puede demostrar que uno de estos escalares , en el marco apropiado, codifica la salida${\ estilo de visualización \ Psi _ {4}}$Radiación gravitacional de un sistema asintóticamente plano. ^[4]

Newman y Penrose introdujeron las siguientes funciones como cantidades primarias utilizando esta tétrada: ^{[1] [2]}

En muchas situaciones, especialmente en espaciotiempos algebraicamente especiales o espaciotiempos vacíos, el formalismo de Newman-Penrose se simplifica drásticamente, ya que muchas de las funciones van a cero. Esta simplificación permite probar varios teoremas más fácilmente que usando la forma estándar de las ecuaciones de Einstein.

En este artículo, solo emplearemos la versión tensorial en lugar de espinorial del formalismo NP, porque la primera es más fácil de entender y más popular en artículos relevantes. Uno puede referirse a la ref. ^[5] para una formulación unificada de estas dos versiones.

El formalismo se desarrolla para un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, con una métrica de firma lorentziana. En cada punto, se introduce una tétrada (conjunto de cuatro vectores). Los primeros dos vectores, y son solo un par de vectores nulos estándar (reales) tales que . Por ejemplo, podemos pensar en términos de coordenadas esféricas y tomar como el vector nulo saliente y el vector nulo entrante. A continuación, se construye un vector nulo complejo mediante la combinación de un par de vectores unitarios ortogonales reales similares al espacio. En el caso de coordenadas esféricas, la elección estándar es${\displaystyle l^{\mu }}$${\ estilo de visualización n ^ {\ mu}}$${\displaystyle l^{a}n_{a}=-1}$${\ estilo de visualización l^{a}}$${\ estilo de visualización n^{a}}$

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