Formalismo tetrad

Este artículo trata sobre tétradas generales. Para tétradas ortonormales, consulte Campos de marco en relatividad general .

El formalismo de la tétrada es un enfoque de la relatividad general que generaliza la elección de la base para el conjunto tangente desde una base de coordenadas a la elección menos restrictiva de una base local, es decir, un conjunto definido localmente de cuatro ^[a] campos vectoriales linealmente independientes llamados tétrada. o vierbein . ^[1] Es un caso especial de la idea más general de un formalismo vielbein , que se establece en la geometría (pseudo) riemanniana. Este artículo, tal como está escrito actualmente, hace mención frecuente de la relatividad general; sin embargo, casi todo lo que dice es igualmente aplicable a las variedades (pseudo) riemannianas en general, e incluso a las variedades de espín . La mayoría de las declaraciones se mantienen simplemente sustituyendo arbitrariamente por . En alemán, "vier" se traduce como "cuatro" y "viel" como "muchos".${\displaystyle n}$${\displaystyle n=4}$

La idea general es escribir el tensor métrico como el producto de dos vielbeins , uno a la izquierda y otro a la derecha. El efecto de los vielbeins es cambiar el sistema de coordenadas utilizado en la variedad tangente a uno que sea más simple o más adecuado para los cálculos. Con frecuencia ocurre que el sistema de coordenadas de vielbein es ortonormal, ya que generalmente es el más fácil de usar. La mayoría de los tensores se vuelven simples o incluso triviales en este sistema de coordenadas; así, la complejidad de la mayoría de las expresiones se revela como un artefacto de la elección de coordenadas, más que una propiedad innata o un efecto físico. Es decir, como formalismo , no altera las predicciones; es más bien una técnica de cálculo.

La ventaja del formalismo de la tétrada sobre el enfoque estándar basado en coordenadas de la relatividad general radica en la capacidad de elegir la base de la tétrada para reflejar aspectos físicos importantes del espacio-tiempo. La notación de índice abstracto denota tensores como si estuvieran representados por sus coeficientes con respecto a una tétrada local fija. En comparación con una notación libre completamente coordinada , que a menudo es conceptualmente más clara, permite una forma fácil y computacionalmente explícita de denotar contracciones.

La importancia del formalismo tetrádico aparece en la formulación de Einstein-Cartan de la relatividad general. El formalismo tetrádico de la teoría es más fundamental que su formulación métrica ya que no se puede convertir entre las formulaciones tetrádica y métrica de las acciones fermiónicas a pesar de que esto es posible para las acciones bosónicas. Esto se debe efectivamente a que los espinores de Weyl pueden definirse de forma muy natural en una variedad de Riemann ^[2] y su entorno natural conduce a la conexión de espín . Estos espinores toman forma en el sistema de coordenadas vielbein y no en el sistema de coordenadas múltiple.

El formalismo tetrádico privilegiado también aparece en la deconstrucción de las teorías de la gravedad de Kaluza-Klein de dimensiones superiores ^[3] y las teorías de la gravedad masiva , en las que la (s) dimensión (es) extra (s) es / son reemplazadas por una serie de N sitios de celosía de modo que la métrica de dimensión superior se reemplaza por un conjunto de métricas interactivas que dependen únicamente de los componentes 4D. ^{[4] Los} vielbeins aparecen comúnmente en otros entornos generales en física y matemáticas. Los vielbeins pueden entenderse como formas de soldadura .

Formulación matemática

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En el formalismo de la tétrada, ^[5] se elige una base de tétrada: un conjunto de campos vectoriales independientes${\displaystyle n}$

${\displaystyle e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }}$

para que juntos abarcan la -dimensional paquete de la tangente en cada punto en el espacio-tiempo colector . Dualmente, una vielbein (o tétrada en 4 dimensiones) determina (y está determinada por) una co-vielbein dual (co-tétrada) - un conjunto de formas 1 independientes .${\displaystyle a=1,\ldots ,n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

tal que

${\displaystyle e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e^{\mu }{}_{b}=\delta _{b}^{a},}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? Un vielbein generalmente se especifica por sus coeficientes con respecto a una base de coordenadas, a pesar de que la elección de un conjunto de coordenadas (locales) es innecesaria para la especificación de una tétrada. Cada covector es una forma de soldadura .${\displaystyle \delta _{b}^{a}}$${\displaystyle e^{\mu }{}_{a}}$${\displaystyle x^{\mu }}$

Desde el punto de vista de la geometría diferencial de los haces de fibras , los cuatro campos vectoriales definen una sección del haz de tramas, es decir, una paralelización del cual es equivalente a un isomorfismo . Dado que no todos los colectores son paralelizables, un vielbein generalmente solo se puede elegir localmente ( es decir, solo en un gráfico de coordenadas y no en todos ).${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1\dots n}}$ ${\displaystyle U\subset M}$${\displaystyle TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$

Todos los tensores de la teoría pueden expresarse en la base del vector y el covector, expresándolos como combinaciones lineales de miembros del (co) vielbein. Por ejemplo, el tensor métrico del espacio-tiempo puede transformarse de una base de coordenadas con la tétrada base .

Las bases de tétradas populares en la relatividad general incluyen tétradas ortonormales y tétradas nulas. Las tétradas nulas se componen de cuatro vectores nulos , por lo que se utilizan con frecuencia en problemas relacionados con la radiación y son la base del formalismo de Newman-Penrose y del formalismo de GHP .

Relación con el formalismo estándar

El formalismo estándar de la geometría diferencial (y la relatividad general) consiste simplemente en usar la tétrada de coordenadas en el formalismo de la tétrada. La tétrada de coordenadas es el conjunto canónico de vectores asociados con el gráfico de coordenadas . La tétrada coordenada se denota comúnmente mientras que la cotetrada dual se denota . Estos vectores tangentes generalmente se definen como operadores de derivadas direccionales : dado un gráfico que mapea un subconjunto de la variedad en el espacio de coordenadas y cualquier campo escalar , los vectores de coordenadas son tales que:${\displaystyle \{\partial _{\mu }\}}$${\displaystyle \{dx^{\mu }\}}$${\displaystyle {\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.}$

La definición de cotetrad utiliza el abuso habitual de notación para definir covectors (formas 1) en . La participación de la tétrada coordinada no suele hacerse explícita en el formalismo estándar. En el formalismo de la tétrada, en lugar de escribir las ecuaciones de los tensores completamente (incluidos los elementos de la tétrada y los productos del tensor como se indicó anteriormente), solo se mencionan los componentes de los tensores. Por ejemplo, la métrica se escribe como " ". Cuando la tétrada no está especificada, se trata de especificar el tipo de tensor llamado notación de índice abstracto . Permite especificar fácilmente la contracción entre tensores repitiendo índices como en la convención de suma de Einstein.${\displaystyle dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }}$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle g_{ab}}$

Cambiar tétradas es una operación de rutina en el formalismo estándar, ya que está involucrado en cada transformación de coordenadas (es decir, cambiar de una base de tétrada de coordenadas a otra). Es necesario cambiar entre varios gráficos de coordenadas porque, excepto en casos triviales, no es posible que un solo gráfico de coordenadas cubra toda la variedad. El cambio ay entre tétradas generales es muy similar e igualmente necesario (excepto para las variedades paralelizables ). Cualquier tensor puede escribirse localmente en términos de esta tétrada coordinada o una (co) tétrada general.

Por ejemplo, el tensor métrico se puede expresar como:${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).}$

(Aquí usamos la convención de suma de Einstein ). Asimismo, la métrica se puede expresar con respecto a una (co) tétrada arbitraria como

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).}$

Aquí, utilizamos la elección del alfabeto ( latín y griego ) para las variables de índice para distinguir la base aplicable.

Podemos trasladar de una co-tétrada general a la co-tétrada de coordenadas expandiendo el covector . Entonces obtenemos ${\displaystyle e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$

de lo que se sigue eso . Asimismo, expandiendo con respecto a la tétrada general, obtenemos${\displaystyle g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }}$${\displaystyle dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}}$

${\displaystyle \mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}}$

lo que demuestra eso .${\displaystyle g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}}$

Manipulación de índices

La manipulación con coeficientes de tétrada muestra que las fórmulas de índices abstractos pueden, en principio, obtenerse a partir de fórmulas de tensores con respecto a una tétrada de coordenadas "reemplazando el griego por índices latinos". Sin embargo, se debe tener cuidado de que una fórmula de tétrada coordinada defina un tensor genuino cuando se trata de diferenciación. Dado que los campos de vectores de coordenadas tienen un corchete de Lie que desaparece (es decir, conmutar :) , las sustituciones ingenuas de fórmulas que calculan correctamente los coeficientes del tensor con respecto a una tétrada coordenada pueden no definir correctamente un tensor con respecto a una tétrada general porque el corchete de Lie no se desvanece : . Por tanto, a veces se dice que las coordenadas de la tétrada proporcionan una base no holonómica .${\displaystyle \partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle [e_{a},e_{b}]\neq 0}$

Por ejemplo, el tensor de curvatura de Riemann se define para campos vectoriales generales por${\displaystyle X,Y}$

${\displaystyle R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)}$.

En una tétrada de coordenadas esto da coeficientes tensoriales

${\displaystyle R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).}$

La ingenua sustitución del "griego al latín" de esta última expresión

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}}$

es incorrecta porque para c y d fijos , es, en general, un operador diferencial de primer orden en lugar de un operador de orden cero que define un coeficiente tensorial. Sustituyendo una base de tétrada general en la fórmula abstracta, encontramos la definición adecuada de la curvatura en notación de índice abstracto, sin embargo: ${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)}$

${\displaystyle R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)}$

donde . Tenga en cuenta que la expresión es de hecho un operador de orden cero, por lo tanto (el componente ( c d ) de) un tensor. Dado que concuerda con la expresión de coordenadas para la curvatura cuando se especializa en una tétrada de coordenadas, está claro, incluso sin usar la definición abstracta de la curvatura, que define el mismo tensor que la expresión de base de coordenadas.${\displaystyle [e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}}$${\displaystyle \left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)}$

Ejemplo: grupos de mentiras

Dado un vector (o covector) en la variedad tangente (o cotangente), el mapa exponencial describe la geodésica correspondiente de ese vector tangente. Escribiendo , el transporte paralelo de un diferencial corresponde a${\displaystyle X\in TM}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots }$

Lo anterior se puede verificar fácilmente simplemente tomando como matriz.${\displaystyle X}$

Para el caso especial de un álgebra de Lie , se puede tomar como un elemento del álgebra, el exponencial es el mapa exponencial de un grupo de Lie y los elementos del grupo corresponden a las geodésicas del vector tangente. Al elegir una base para el álgebra de Lie y escribir para algunas funciones, los conmutadores pueden escribirse explícitamente. Uno calcula fácilmente que${\displaystyle X}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle X=X^{i}e_{i}}$${\displaystyle X^{i},}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots }$

para las constantes de estructura del álgebra de Lie. La serie se puede escribir de forma más compacta como ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}}$

${\displaystyle e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}}$

con la serie infinita

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.}$

Aquí, hay una matriz cuyos elementos de la matriz son . La matriz es entonces el vielbein; expresa el diferencial en términos de las "coordenadas planas" (ortonormal, en eso) .${\displaystyle M}$${\displaystyle {M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle dX^{j}}$${\displaystyle e_{i}}$

Dado un mapa de alguna variedad a algún grupo de Lie , el tensor métrico en la variedad se convierte en el retroceso del tensor métrico en el grupo de Lie : ${\displaystyle N\to G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle B_{mn}}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}}$

El tensor métrico en el grupo de Lie es la métrica de Cartan, también conocida como la forma Killing . Tenga en cuenta que, como matriz, la segunda W es la transposición. Para una variedad (pseudo) riemanniana , la métrica es una métrica (pseudo) riemanniana . Lo anterior se generaliza al caso de espacios simétricos . ^[6] Estos vielbeins se utilizan para realizar cálculos en modelos sigma , de los cuales las teorías de supergravedad son un caso especial. ^[7]${\displaystyle B_{mn}}$${\displaystyle N}$

Ver también

• Paquete de marcos
• Paquete de armazón ortonormal
• Paquete principal
• Paquete giratorio
• Conexión (matemáticas)
• Estructura G
• Colector de centrifugado
• Estructura de giro
• Ecuación de Dirac en el espacio-tiempo curvo

Notas

1. El mismo enfoque se puede utilizar para un espacio-tiempo de dimensión arbitraria, donde el marco del paquete de marcos se denomina n-bein o vielbein .

Citas

1. De Felice, F .; Clarke, CJS (1990), Relatividad sobre colectores curvos , p. 133
2. Jurgen Jost (1991) Riemanninan Geometría y análisis geométrico, Springer
3. Arkani-Hamed, Nima; Cohen, Andrew G .; Georgi, Howard (mayo de 2001). "(Des) Construir Dimensiones" . Cartas de revisión física . 86 (21): 4757–4761. arXiv : hep-th / 0104005 . doi : 10.1103 / PhysRevLett.86.4757 . ISSN 0031-9007 . PMID 11384341 . S2CID 4540121 .   
4. de Rham, Claudia (diciembre de 2014). "Gravedad masiva" . Reseñas vivientes en relatividad . 17 (1): 7. doi : 10.12942 / lrr-2014-7 . ISSN 2367-3613 . PMC 5256007 . PMID 28179850 .   
5. Tohru Eguchi, Peter B. Gilkey y Andrew J. Hanson, " Gravitación, teorías de calibre y geometría diferencial ", Physics Reports 66 (1980) pp 213-393.
6. Nejat Tevfik Yilmaz, (2007) "En la cinemática del modelo sigma del espacio simétrico" arXiv: 0707.2150 [hep-th]
7. Arjan Keurentjes (2003) "La teoría grupal de la oxidación", arXiv: 0210178 [hep-th]

Referencias

• De Felice, F .; Clarke, CJS (1990), Relativity on Curved Manifolds (publicado por primera vez en 1990 ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-26639-4
• Benn, MI; Tucker, RW (1987), Una introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física (publicado por primera vez en 1987 ed.), Adam Hilger, ISBN 0-85274-169-3

enlaces externos

• Relatividad general con tétradas