La acción Nambu-Goto es la acción invariante más simple en la teoría de cuerdas bosónicas y también se utiliza en otras teorías que investigan objetos similares a cuerdas (por ejemplo, cuerdas cósmicas ). Es el punto de partida del análisis del comportamiento de cuerdas de espesor cero (infinitamente delgadas), utilizando los principios de la mecánica de Lagrange . Así como la acción de una partícula de punto libre es proporcional a su tiempo adecuado , es decir , la "longitud" de su línea-mundo, la acción de una cuerda relativista es proporcional al área de la hoja que la cuerda traza a medida que viaja a través del espacio-tiempo.
Lleva el nombre de los físicos japoneses Yoichiro Nambu y Tetsuo Goto . [1]
Fondo
Mecánica relativista de Lagrange
El principio básico de la mecánica lagrangiana, el principio de la acción estacionaria , es que un objeto sometido a influencias externas "elegirá" un camino que convierte una cierta cantidad, la acción , en un extremo. La acción es una relación funcional , matemática, que toma un camino completo y produce un solo número. El camino físico , el que sigue realmente el objeto, es el camino para el cual la acción es "estacionaria" (o extrema): cualquier pequeña variación del camino del físico no cambia significativamente la acción. (A menudo, esto equivale a decir que la ruta física es aquella para la que la acción es mínima). Las acciones se escriben típicamente usando lagrangianos, fórmulas que dependen del estado del objeto en un punto particular en el espacio y / o tiempo. En la mecánica no relativista, por ejemplo, el Lagrangiano de una partícula puntual es la diferencia entre la energía cinética y potencial:. La acción, a menudo escrita, es entonces la integral de esta cantidad desde un tiempo de inicio hasta un tiempo de finalización:
(Por lo general, cuando usamos lagrangianos, asumimos que conocemos las posiciones inicial y final de la partícula, y nos preocupamos por la ruta que recorre la partícula entre esas posiciones).
Este enfoque de la mecánica tiene la ventaja de que se puede ampliar y generalizar fácilmente. Por ejemplo, podemos escribir un lagrangiano para una partícula relativista , que será válido incluso si la partícula viaja cerca de la velocidad de la luz. Para preservar la invariancia de Lorentz , la acción solo debe depender de cantidades que sean iguales para todos los observadores (de Lorentz), es decir, la acción debe ser un escalar de Lorentz . La cantidad más simple es el tiempo adecuado , el tiempo medido por un reloj que lleva la partícula. Según la relatividad especial, todos los observadores de Lorentz que observen el movimiento de una partícula calcularán el mismo valor para la cantidad
y es entonces un tiempo propio infinitesimal. Para una partícula puntual no sujeta a fuerzas externas ( es decir , una que experimenta movimiento inercial), la acción relativista es
Hojas del mundo
Así como un punto de dimensión cero traza una línea de mundo en un diagrama de espacio-tiempo, una cadena unidimensional está representada por una hoja de mundo . Todas las hojas del mundo son superficies bidimensionales, por lo que necesitamos dos parámetros para especificar un punto en una hoja del mundo. Los teóricos de cuerdas usan los símbolos y para estos parámetros. Resulta que las teorías de cuerdas involucran espacios de mayor dimensión que el mundo 3D con el que estamos familiarizados; La teoría de cuerdas bosónicas requiere 25 dimensiones espaciales y un eje de tiempo. Si es el número de dimensiones espaciales, podemos representar un punto por el vector
Describimos una cadena usando funciones que mapean una posición en el espacio de parámetros (, ) a un punto en el espacio-tiempo. Por cada valor de y , estas funciones especifican un vector espacio-tiempo único:
Las funciones determinar la forma que toma la hoja del mundo. Los diferentes observadores de Lorentz no estarán de acuerdo con las coordenadas que asignan a puntos particulares en la hoja del mundo, pero todos deben estar de acuerdo en el área total adecuada que tiene la hoja del mundo. La acción Nambu-Goto se elige para que sea proporcional a esta área total adecuada.
Dejar ser la métrica en el -espacio-tiempo dimensional. Luego,
es la métrica inducida en la hoja mundial, donde y .
Por la zona de la hoja del mundo se sostiene lo siguiente:
dónde y
Usando la notación que:
y
uno puede reescribir la métrica :
la acción Nambu-Goto se define como [2]
dónde . Los factores antes de la integral dan a la acción las unidades correctas, energía multiplicada por tiempo. es la tensión en la cuerda, y es la velocidad de la luz. Normalmente, los teóricos de cuerdas trabajan en "unidades naturales" donde se establece en 1 (junto con la constante de Planck y la constante de Newton ). Además, en parte por razones históricas, utilizan el "parámetro de pendiente" en vez de . Con estos cambios, la acción Nambu-Goto se convierte en
Estas dos formas son, por supuesto, completamente equivalentes: elegir una sobre la otra es una cuestión de convención y conveniencia.
Otras dos formas equivalentes son
y
Normalmente, la acción Nambu-Goto aún no tiene la forma apropiada para estudiar la física cuántica de cuerdas. Para ello debe modificarse de forma similar a la acción de una partícula puntual. Eso es clásicamente igual a menos masa multiplicada por la longitud invariante en el espacio-tiempo, pero debe ser reemplazada por una expresión cuadrática con el mismo valor clásico. [3] Para las cadenas, la corrección analógica la proporciona la acción Polyakov , que es clásicamente equivalente a la acción Nambu-Goto, pero da la teoría cuántica "correcta". Sin embargo, es posible desarrollar una teoría cuántica a partir de la acción Nambu-Goto en el indicador del cono de luz .
Ver también
Referencias
- ^ Nambu, Yoichiro, Conferencias sobre el simposio de verano de Copenhague (1970), inédito.
- ^ Zwiebach, Barton (2003). Un primer curso de teoría de cuerdas . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521880329.
- ^ Consulte el capítulo 19 dellibro de texto estándarde Kleinert sobre Integrales de ruta en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros , quinta edición, World Scientific (Singapur, 2009) Archivado el 24 de abril de 2009 en Wayback Machine (también disponible en línea )
Otras lecturas
- Ortin, Thomas, Gravity and Strings , Cambridge Monographs, Cambridge University Press (2004). ISBN 978-0-521-03546-0 .