En física teórica , la mecánica relativista lagrangiana es la mecánica lagrangiana aplicada en el contexto de la relatividad especial y la relatividad general .
Formulación lagrangiana en relatividad especial
La mecánica de Lagrange se puede formular en relatividad especial de la siguiente manera. Considere una partícula (las partículas N se consideran más adelante).
Formulación coordinada
Si un sistema se describe mediante una L lagrangiana , las ecuaciones de Euler-Lagrange
conservan su forma en la relatividad especial , siempre que el lagrangiano genere ecuaciones de movimiento consistentes con la relatividad especial. Aquí r = ( x , y , z ) es el vector de posición de la partícula medido en algún marco de laboratorio donde se utilizan coordenadas cartesianas para simplificar, y
es la velocidad coordenada, la derivada de la posición r con respecto al tiempo coordenado t . (A lo largo de este artículo, los sobrepuntos se refieren al tiempo coordinado, no al tiempo adecuado). Es posible transformar las coordenadas de posición en coordenadas generalizadas exactamente como en la mecánica no relativista, r = r ( q , t ). Tomando el diferencial total de r se obtiene la transformación de la velocidad v a las coordenadas generalizadas, velocidades generalizadas y tiempo de coordenadas.
sigue siendo el mismo. Sin embargo, la energía de una partícula en movimiento es diferente de la mecánica no relativista. Es instructivo observar la energía relativista total de una partícula de prueba libre. Un observador en el marco del laboratorio define eventos por las coordenadas r y el tiempo de la coordenada t , y mide la partícula para que tenga una velocidad coordinada v = d r / dt . Por el contrario, un observador que se mueva con la partícula registrará un tiempo diferente, este es el tiempo adecuado , τ . Expandiéndose en una serie de potencias , el primer término es la energía en reposo de la partícula , más su energía cinética no relativista , seguida de correcciones relativistas de orden superior;
donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Los diferenciales en t y τ están relacionados por el factor de Lorentz γ , [nb 1]
donde · es el producto escalar . La energía cinética relativista para una partícula sin carga de masa en reposo m 0 es
y podemos adivinar ingenuamente que el lagrangiano relativista de una partícula es esta energía cinética relativista menos la energía potencial. Sin embargo, incluso para una partícula libre para la que V = 0, esto es incorrecto. Siguiendo el enfoque no relativista, esperamos que la derivada de este lagrangiano aparentemente correcto con respecto a la velocidad sea el momento relativista, lo cual no es así.
Se puede mantener la definición de momento generalizado y se seguirá aplicando la ventajosa conexión entre coordenadas cíclicas y cantidades conservadas . Los momentos se pueden utilizar para "aplicar ingeniería inversa" al Lagrangiano. Para el caso de la partícula masiva libre, en coordenadas cartesianas, la componente x del momento relativista es
y de manera similar para los componentes y y z . La integración de esta ecuación con respecto a dx / dt da
donde X es una función arbitraria de dy / dt y dz / dt de la integración. La integración de p y y p z se obtiene de manera similar
donde Y y Z son funciones arbitrarias de sus variables indicadas. Dado que las funciones X , Y , Z son arbitrarias, sin pérdida de generalidad podemos concluir que la solución común a estas integrales, un posible lagrangiano que generará correctamente todas las componentes del momento relativista, es
donde X = Y = Z = 0.
Alternativamente, dado que deseamos construir un Lagrangiano a partir de cantidades relativísticamente invariantes, tome la acción como proporcional a la integral del elemento de línea invariante de Lorentz en el espacio-tiempo , la longitud de la línea del mundo de la partícula entre los tiempos propios τ 1 y τ 2 , [nb 1]
donde ε es una constante que se debe encontrar, y después de convertir el tiempo adecuado de la partícula al tiempo coordinado según lo medido en el marco de laboratorio, el integrando es el lagrangiano por definición. El impulso debe ser el impulso relativista,
lo que requiere ε = - m 0 c 2 , de acuerdo con el Lagrangiano obtenido previamente.
De cualquier manera, el vector de posición r está ausente del Lagrangiano y por lo tanto es cíclico, por lo que las ecuaciones de Euler-Lagrange son consistentes con la constancia del momento relativista,
que debe ser el caso de una partícula libre. Además, al expandir la partícula libre relativista lagrangiana en una serie de potencias al primer orden en ( v / c ) 2 ,
en el límite no relativista cuando v es pequeño, los términos de orden superior no mostrados son despreciables, y el Lagrangiano es la energía cinética no relativista como debería ser. El término restante es el negativo de la energía en reposo de la partícula, un término constante que puede ignorarse en el lagrangiano.
Para el caso de una partícula que interactúa sujeta a un potencial V , que puede ser no conservativo, es posible para varios casos interesantes simplemente restar este potencial de la partícula libre lagrangiana,
y las ecuaciones de Euler-Lagrange conducen a la versión relativista de la segunda ley de Newton , la derivada del tiempo coordinado del momento relativista es la fuerza que actúa sobre la partícula;
asumiendo que el potencial V puede generar la fuerza correspondiente F de esta manera. Si el potencial no puede obtener la fuerza como se muestra, entonces el Lagrangiano necesitaría modificaciones para obtener las ecuaciones de movimiento correctas.
También es cierto que si el Lagrangiano es explícitamente independiente del tiempo y el potencial V ( r ) independiente de las velocidades, entonces la energía relativista total
se conserva, aunque la identificación es menos obvia ya que el primer término es la energía relativista de la partícula que incluye la masa en reposo de la partícula, no meramente la energía cinética relativista. Además, el argumento a favor de funciones homogéneas no se aplica a los lagrangianos relativistas.
La extensión a N partículas es sencilla, el lagrangiano relativista es simplemente una suma de los términos de "partícula libre", menos la energía potencial de su interacción;
donde todas las posiciones y velocidades se miden en el mismo marco de laboratorio, incluido el tiempo.
La ventaja de esta formulación coordinada es que se puede aplicar a una variedad de sistemas, incluidos los sistemas de múltiples partículas. La desventaja es que se ha seleccionado algún marco de laboratorio como marco preferido y ninguna de las ecuaciones es manifiestamente covariante (en otras palabras, no adoptan la misma forma en todos los marcos de referencia). Para un observador que se mueve en relación con el marco del laboratorio, todo debe recalcularse; la posición r , la cantidad de movimiento p , la energía total E , la energía potencial, etc. En particular, si este otro observador se mueve con velocidad relativa constante, entonces deben usarse las transformaciones de Lorentz . Sin embargo, la acción seguirá siendo la misma ya que es invariante de Lorentz por construcción.
Una forma aparentemente diferente pero completamente equivalente del Lagrangiano para una partícula masiva libre, que se extenderá fácilmente a la relatividad general como se muestra a continuación, se puede obtener insertando [nb 1]
en la acción invariante de Lorentz de modo que
donde ε = - m 0 c 2 se mantiene por simplicidad. Aunque el elemento de línea y la acción son invariantes de Lorentz, el Lagrangiano no lo es , porque tiene una dependencia explícita del tiempo de coordenadas de laboratorio. Aún así, las ecuaciones de movimiento se derivan del principio de Hamilton
Dado que la acción es proporcional a la longitud de la línea de mundo de la partícula (en otras palabras, su trayectoria en el espacio-tiempo), esta ruta ilustra que encontrar la acción estacionaria es similar a encontrar la trayectoria de menor o mayor longitud en el espacio-tiempo. En consecuencia, las ecuaciones de movimiento de la partícula son similares a las ecuaciones que describen las trayectorias de mayor o menor longitud en el espacio-tiempo, las geodésicas .
Para el caso de una partícula que interactúa en un potencial V , el Lagrangiano todavía es
que también puede extenderse a muchas partículas como se muestra arriba, cada partícula tiene su propio conjunto de coordenadas de posición para definir su posición.
Formulación covariante
En la formulación covariante, el tiempo se coloca en pie de igualdad con el espacio, por lo que el tiempo de coordenadas medido en algún marco es parte del espacio de configuración junto con las coordenadas espaciales (y otras coordenadas generalizadas). [1] Para una partícula, ya sea sin masa o masiva, la acción invariante de Lorentz es (abusar de la notación) [2]
donde los índices superior e inferior se utilizan de acuerdo con la covarianza y la contravarianza de los vectores , σ es un parámetro afín y u μ = dx μ / dσ es la cuatro velocidades de la partícula.
Para partículas masivas, σ puede ser la longitud del arco s , o el tiempo adecuado τ , a lo largo de la línea del mundo de la partícula,
Para las partículas sin masa, no puede porque el tiempo adecuado de una partícula sin masa es siempre cero;
Para una partícula libre, el Lagrangiano tiene la forma [3] [4]
donde se permite que el factor irrelevante de 1/2 sea reducido por la propiedad de escala de los lagrangianos. No es necesaria la inclusión de masa, ya que esto también se aplica a las partículas sin masa. Las ecuaciones de Euler-Lagrange en las coordenadas del espacio-tiempo son
que es la ecuación geodésica para geodésicas afinadamente parametrizadas en el espacio-tiempo. En otras palabras, la partícula libre sigue a las geodésicas. Las geodésicas para partículas sin masa se denominan "geodésicas nulas", ya que se encuentran en un " cono de luz " o "cono nulo" del espacio-tiempo (el nulo se produce porque su producto interno a través de la métrica es igual a 0), las partículas masivas siguen "en forma temporal geodésicas ", y las partículas hipotéticas que viajan más rápido que la luz conocidas como taquiones siguen" geodésicas espaciales ".
Esta formulación manifiestamente covariante no se extiende a un sistema de partículas N , ya que entonces el parámetro afín de cualquier partícula no puede definirse como un parámetro común para todas las demás partículas.
Ejemplos en relatividad especial
Oscilador armónico 1d relativista especial
Para un oscilador armónico simple relativista 1d , el lagrangiano es [5] [6]
donde k es la constante del resorte.
Fuerza constante relativista especial
Para una partícula bajo una fuerza constante, el Lagrangiano es [7]
donde a es la fuerza por unidad de masa.
Partícula de prueba relativista especial en un campo electromagnético
En relatividad especial, el lagrangiano de una partícula de prueba cargada masiva en un campo electromagnético se modifica a [8]
Las ecuaciones de Lagrange en r conducen a la ley de fuerza de Lorentz , en términos de la cantidad de movimiento relativista
En el lenguaje de cuatro vectores y notación de índice tensorial , el lagrangiano toma la forma
donde u μ = dx μ / dτ es la cuatro velocidades de la partícula de prueba y A μ el cuatro potencial electromagnético .
Las ecuaciones de Euler-Lagrange son (observe la derivada total con respecto al tiempo adecuado en lugar del tiempo coordinado )
obtiene
Bajo la derivada total con respecto al tiempo propio, el primer término es el momento relativista, el segundo término es
luego reordenando, y usando la definición del tensor electromagnético antisimétrico , da la forma covariante de la ley de fuerza de Lorentz en la forma más familiar,
Formulación lagrangiana en la relatividad general
El lagrangiano es el de una sola partícula más un término de interacción L I
Variando esto con respecto a la posición de la partícula r α en función del tiempo t da
Esto da la ecuación de movimiento
dónde
es la fuerza no gravitacional sobre la partícula. (Para que m sea independiente del tiempo, debemos tener.)
El reordenamiento obtiene la ecuación de fuerza
donde Γ es el símbolo de Christoffel que es el campo de fuerza gravitacional.
Si dejamos
sea el momento lineal (cinético) de una partícula con masa, entonces
y
mantener incluso para una partícula sin masa.
Ejemplos en relatividad general
Partícula de prueba relativista general en un campo electromagnético
En relatividad general , el primer término generaliza (incluye) tanto la energía cinética clásica como la interacción con el campo gravitacional. Para una partícula cargada en un campo electromagnético es
Si las cuatro coordenadas del espacio-tiempo x µ se dan en unidades arbitrarias (es decir, sin unidades), entonces g µν en m 2 es el tensor métrico simétrico de rango 2 que también es el potencial gravitacional. Además, A µ en V · s es el potencial electromagnético de 4 vectores.
Ver también
- Mecánica relativista
- Lema fundamental del cálculo de variaciones
- Coordenadas canónicas
- Derivado funcional
- Coordenadas generalizadas
- Mecánica hamiltoniana
- Óptica hamiltoniana
- Análisis lagrangiano (aplicaciones de la mecánica lagrangiana)
- Punto lagrangiano
- Sistema lagrangiano
- Mecánica no autónoma
- Problema restringido de tres cuerpos
- El problema de Plateau
Notas al pie
- ^ a b c El elemento de línea al cuadrado es el invariante de Lorentz
Notas
- ^ Goldstein 1980 , p. 328
- ^ Hobson, Efstathiou y Lasenby 2006 , p. 79–80
- ^ Foster y Nightingale 1995 , p. 62–63
- ^ Hobson, Efstathiou y Lasenby 2006 , p. 79–80
- ^ Goldstein 1980 , p. 324
- ^ Hand & Finch 2008 , p. 551
- ^ Goldstein 1980 , p. 323
- ^ Hand & Finch 2008 , p. 534
Referencias
- Penrose, Roger (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 978-0-679-77631-4.
- Landau, LD ; Lifshitz, EM (15 de enero de 1976). Mecánica (3ª ed.). Butterworth Heinemann. pag. 134 . ISBN 9780750628969.
- Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (1975). La teoría clásica de los campos . ISBN de Elsevier Ltd. 978-0-7506-2768-9.
- Mano, LN; Finch, JD (13 de noviembre de 1998). Mecánica analítica (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 23 . ISBN 9780521575720.
- Louis N. Hand; Janet D. Finch (1998). Mecánica analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 140-141. ISBN 0-521-57572-9.
- Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. págs. 352 –353. ISBN 0201029189.
- Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P., Jr .; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3ª ed.). San Francisco, CA: Addison Wesley. págs. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
- Lanczos, Cornelius (1986). "II §5 Condiciones auxiliares: el método λ de Lagrange" . Los principios variacionales de la mecánica (Reimpresión de la Universidad de Toronto 1970 4ª ed.). Mensajero Dover. pag. 43. ISBN 0-486-65067-7.
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- Foster, J; Nightingale, JD (1995). Un curso corto de relatividad general (2ª ed.). Saltador. ISBN 0-03-063366-4.
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