Teorema de napoleón

Sobre las líneas que conectan los centros de triángulos equiláteros construidos en los lados de un triángulo

Teorema de Napoleón: si los triángulos centrados en L , M y N son equiláteros, entonces también lo es el triángulo verde.

En geometría , el teorema de Napoleón establece que si se construyen triángulos equiláteros en los lados de cualquier triángulo , ya sea hacia afuera o hacia adentro, las líneas que conectan los centros de esos triángulos equiláteros forman un triángulo equilátero.

El triángulo así formado se llama triángulo de Napoleón interior o exterior . La diferencia en las áreas de los triángulos de Napoleón exterior e interior es igual al área del triángulo original.

El teorema se atribuye a menudo a Napoleón Bonaparte (1769-1821). Algunos han sugerido que puede remontarse a la pregunta de 1825 de W. Rutherford publicada en The Ladies 'Diary , cuatro años después de la muerte del emperador francés, ^{[1] [2]} pero el resultado se cubre en tres preguntas establecidas en un examen para un Gold Medalla en la Universidad de Dublín en octubre de 1820, mientras que Napoleón murió en mayo siguiente.

Pruebas

En la figura anterior, ABC es el triángulo original. AZB, BXC y CYA son triángulos equiláteros construidos en el exterior de sus lados, y los puntos L, M y N son los centroides de esos triángulos. El teorema de los triángulos exteriores establece que el triángulo LMN ( verde ) es equilátero.

Una forma rápida de ver que el triángulo LMN es equilátero es observar que MN se convierte en CZ bajo una rotación en el sentido de las agujas del reloj de 30 ° alrededor de A y una homotecia de razón √ 3 con el mismo centro, y que LN también se convierte en CZ después de una rotación en sentido antihorario de 30 ° alrededor de B y una homotecia de razón √ 3 con el mismo centro. Las respectivas similitudes espirales ^[3] son A ( √ 3 , -30 °) y B ( √ 3 , 30 °). Eso implica MN = LN y el ángulo entre ellos debe ser de 60 °. ^[4]

De hecho, hay muchas pruebas del enunciado del teorema, incluida una sintética (sin coordenadas) , ^[5] una trigonométrica , ^[6] un enfoque basado en la simetría , ^[7] y pruebas que utilizan números complejos . ^[6]

Fondo

Extracto del Diario de Damas de 1826 con pruebas geométricas y analíticas.

El teorema se ha atribuido con frecuencia a Napoleón, pero se han escrito varios artículos sobre este tema ^{[8] [9]} que arrojan dudas sobre esta afirmación (ver ( Grünbaum 2012 )).

La siguiente entrada apareció en la página 47 del Ladies 'Diary de 1825 (es decir, a finales de 1824, aproximadamente un año después de la recopilación de los exámenes de Dublín). Esta es una aparición temprana del teorema de Napoleón impreso, y no se menciona el nombre de Napoleón.

VII. Quest. (1439); por el Sr. W. Rutherford, Woodburn.

"Describe triángulos equiláteros (los vértices son todos hacia afuera o hacia adentro) en los tres lados de cualquier triángulo ABC: entonces las líneas que unen los centros de gravedad de esos tres triángulos equiláteros constituirán un triángulo equilátero. Requiere una demostración".

Dado que William Rutherford era un matemático muy capaz, se desconoce su motivo para solicitar una prueba de un teorema que ciertamente podría haber probado él mismo. Quizás planteó la pregunta como un desafío para sus compañeros, o quizás esperaba que las respuestas arrojaran una solución más elegante. Sin embargo, al leer los sucesivos números del Diario de las Damas en la década de 1820, se desprende que el Editor tenía como objetivo incluir un conjunto variado de preguntas cada año, algunas adecuadas para el ejercicio de los principiantes.

Es evidente que no hay ninguna referencia a Napoleón ni en la pregunta ni en las respuestas publicadas, que aparecieron un año después, en 1826, aunque el editor evidentemente omitió algunas presentaciones. Además, el propio Rutherford no aparece entre los solucionadores nombrados después de las soluciones impresas, aunque del recuento de unas páginas antes es evidente que envió una solución, al igual que varios de sus alumnos y asociados en Woodburn School, incluido el primero. de las soluciones publicadas. De hecho, el Woodburn Problem Solving Group, como podría ser conocido hoy, era lo suficientemente conocido para entonces como para ser escrito en A Historical, Geographical, and Descriptive View of the County of Northumberland ...(2ª ed. Vo. II, págs. 123-124). Se pensaba que la primera referencia conocida a este resultado como teorema de Napoleón aparece en la 17ª edición de Elementi di Geometria de Faifofer publicada en 1911, ^[10] aunque Faifofer realmente menciona a Napoleón en ediciones algo anteriores. Pero esto es discutible porque encontramos a Napoleón mencionado por su nombre en este contexto en una enciclopedia de 1867. Lo que es de mayor interés histórico con respecto a Faifofer es el problema que había estado usando en ediciones anteriores: un problema clásico sobre la circunscripción del mayor triángulo equilátero sobre un triángulo dado que Thomas Moss había posado en el Diario de las Damasen 1754, en la solución a la que William Bevil al año siguiente podríamos reconocer fácilmente el germen del Teorema de Napoleón: los dos resultados luego corren juntos, de un lado a otro durante al menos los próximos cien años en las páginas de problemas de los almanaques populares: cuando Honsberger propuso en Mathematical Gems en 1973 lo que él pensó que era una novedad propia, en realidad estaba recapitulando parte de esta vasta, aunque informal, literatura.

Sería bueno recordar que una variante popular de la proposición pitagórica, donde los cuadrados se colocan en los bordes de los triángulos, era colocar triángulos equiláteros en los bordes de los triángulos: ¿podrías hacer con triángulos equiláteros lo que podrías hacer con cuadrados? por ejemplo, en el caso de los triángulos rectángulos, diseccionar el de la hipotenusa en los de los catetos. Así como los autores volvieron repetidamente a considerar otras propiedades del molino de viento de Euclides o de la silla de la novia, la figura equivalente con triángulos equiláteros reemplazando cuadrados invitó y recibió atención. Quizás el esfuerzo más majestuoso en este sentido es la pregunta del premio de William Mason en el diario de la dama y el caballero.para 1864, las soluciones y el comentario, para el que el año siguiente ascienden a unas quince páginas. Para entonces, este lugar venerable en particular, comenzando en 1704 para el Diario de las Damas y en 1741 para el Diario de los Caballeros, estaba en sus últimas etapas, pero los problemas de este tipo continuaron en el Educational Times hasta principios del siglo XX.

Problemas de Dublín, octubre de 1820

En el artículo de Geometría, elaborado en la segunda mañana de los trabajos para los candidatos a la Medalla de Oro en el Examen General de la Universidad de Dublín en octubre de 1820, aparecen los siguientes tres problemas.

Pregunta 10. De este modo, se construyen tres triángulos equiláteros en los lados de un triángulo dado, A, B, D, las líneas que unen sus centros, C, C ', C "forman un triángulo equilátero. [El diagrama adjunto muestra los triángulos equiláteros colocados externamente.]

Pregunta 11. Si los tres triángulos equiláteros se construyen como en la última figura, las líneas que unen sus centros también formarán un triángulo equilátero. [El diagrama adjunto muestra los lugares de los triángulos equiláteros hacia adentro.]

Pregunta 12. Investigar la relación entre el área del triángulo dado y las áreas de estos dos triángulos equiláteros.

Estos problemas se registran en

• Problemas de Dublín: una colección de preguntas propuestas a los candidatos a la medalla de oro en los exámenes generales, desde 1816 hasta 1822 inclusive. Al que sigue un relato del examen de la beca, en 1823 (G. y WB Whittaker, Londres, 1823) ^[11]

Pregunta 1249 del Diario del caballero; o Repositorio Matemático de 1829 (que aparece a finales de 1828) retoma el tema, y ​​las soluciones aparecen en el número para el año siguiente. Uno de los solucionadores, TS Davies luego generalizó el resultado en la Pregunta 1265 ese año, presentando su propia solución al año siguiente, basándose en un artículo que ya había contribuido a la Revista Filosófica en 1826. No hay referencias cruzadas en este material a el descrito anteriormente. Sin embargo, hay varios elementos de interés afín en las páginas de problemas de los almanaques populares que se remontan al menos a mediados de la década de 1750 (Moss) y continúan hasta mediados de la década de 1860 (Mason), como se mencionó anteriormente.

Da la casualidad de que el nombre de Napoleón se menciona en relación con este resultado en nada menos que una obra de referencia que la Enciclopedia de Chambers ya en 1867 (Vol. IX, hacia el final de la entrada sobre triángulos).

Otra propiedad notable de los triángulos, conocida como problema de Napoleón, es la siguiente: si en cualquier triángulo se describen tres triángulos equiláteros y los centros de gravedad de estos tres están unidos, el triángulo así formado es equilátero y su centro de gravedad coincide con el del triángulo original.

Pero entonces el resultado había aparecido, con pruebas, en un libro de texto al menos en 1834 ( Euclid de James Thomson , págs. 255-256 ^[12] ). En una nota al final (p. 372), Thomason agrega

Esta curiosa proposición no la he encontrado, excepto en Dublin Problems, publicado en 1823, donde se inserta sin demostración.

En la segunda edición (1837), Thomson amplió la nota al final proporcionando pruebas de un antiguo alumno en Belfast:

El siguiente es un esbozo de una prueba muy fácil y clara del Sr. Adam D. Glasgow de Belfast, un ex alumno mío de gran gusto y talento para las actividades matemáticas:

Así, Thomson no parece consciente de la aparición del problema en el Ladies 'Diary de 1825 o en el Gentleman's Diary de 1829 (al igual que JS Mackay iba a ignorar esta última aparición, con su cita de Dublin Problems, al tiempo que señalaba la anterior; los lectores del American Mathematical Monthly tienen un puntero a la Pregunta 1249 en el Diario del Caballero de RC Archibald en el número de enero de 1920, p. 41, nota al pie 7, aunque la primera solución publicada en el Ladies Diary de 1826 muestra que incluso Archibald no era omnisciente en cuestiones prioritarias).

Centro común

Los centros de los triángulos de Napoleón interior y exterior coinciden con el centroide del triángulo original. Esta coincidencia se señaló en la Enciclopedia de Chambers en 1867, como se cita anteriormente. La entrada no está firmada. PG Tait , entonces profesor de Filosofía Natural en la Universidad de Edimburgo, figura entre los colaboradores, pero JU Hillhouse, Tutor de Matemáticas también en la Universidad de Edimburgo, aparece entre otros caballeros literarios conectados por períodos más largos o más cortos con el personal regular de la Enciclopedia. Sin embargo, en la Sección 189 (e) de Un tratado elemental sobre cuaterniones , ^[13] también en 1867, Tait trata el problema (de hecho, haciéndose eco de las observaciones de Davies en el Diario del Caballero en 1831 con respecto a la Pregunta 1265, pero ahora en el marco de los cuaterniones):

Si se erigen perpendiculares hacia afuera en los puntos medios de los lados de un triángulo, siendo cada uno proporcional al lado correspondiente, el punto medio de sus extremos coincide con el del triángulo original. Calcula la razón de cada perpendicular a la mitad del lado correspondiente del triángulo antiguo en el que el nuevo triángulo puede ser equilátero.

Tait concluye que los puntos medios de los triángulos equiláteros erigidos hacia afuera en los lados de cualquier triángulo forman un triángulo equilátero. La discusión se conserva en ediciones posteriores en 1873 y 1890, así como en su Introducción adicional a los cuaterniones ^[14] junto con Philip Kelland en 1873.

Áreas y lados de los triángulos de Napoleón internos y externos

El área del triángulo interior de Napoleón de un triángulo con área es${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\text{Area(inner)}}=-{\frac {\Delta }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 0,}$

donde una , b , y c son las longitudes de los lados del triángulo original, con igualdad sólo en el caso en el que el triángulo original es equilátero, por la desigualdad de Weitzenböck . Sin embargo, desde un punto de vista algebraico ^[15] el triángulo interior está "retrógrado" y su área algebraica es el negativo de esta expresión. ^[dieciséis]

El área del triángulo exterior de Napoleón es ^[17]

${\displaystyle {\text{Area(outer)}}={\frac {\Delta }{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{24}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).}$

Analíticamente , se puede demostrar ^[6] que cada uno de los tres lados del triángulo exterior de Napoleón tiene una longitud de

${\displaystyle {\text{Side(outer)}}={\sqrt {{a^{2}+b^{2}+c^{2} \over 6}+{{\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}} \over {2{\sqrt {3}}}}}}.}$

La relación entre las dos últimas ecuaciones es que el área de un triángulo equilátero es igual al cuadrado del lado multiplicado por ${\displaystyle {\sqrt {3}}/4.}$

Generalizaciones

Triángulos equiláteros en los lados de un hexágono arbitrario: cuando A1 = A4, A2 = A5, A3 = A6 este teorema se convierte en el teorema de Napoleón

Teorema de Petr-Douglas-Neumann

Artículo principal: teorema de Petr-Douglas-Neumann

Si se erigen triángulos isósceles con ángulos de vértice 2kπ / n en los lados de un n-gon A ₀ arbitrario , y si este proceso se repite con el n-gon formado por los ápices libres de los triángulos, pero con un valor diferente de k , y así sucesivamente hasta que se hayan usado todos los valores 1 ≤ k ≤ n - 2 (en orden arbitrario), entonces se forma un n-gon regular A _{n − 2} cuyo centroide coincide con el centroide de A ₀ . ^[18]

Teorema de Napoleón-Barlotti

Los centros de n-gon regulares construidos sobre los lados de un n-gon P forman un n-gon regular si y solo si P es una imagen afín de un n-gon regular. ^{[19] [20]}

Ver también

• Puntos de Napoleón
• El problema de Lemoine
• El problema de Napoleón

Notas

1. Grünbaum 2012
2. "Teorema de Napoleón - de Wolfram MathWorld" . Mathworld.wolfram.com. 2013-08-29 . Consultado el 6 de septiembre de 2013 .
3. Weisstein, Eric W. "Similitud en espiral" . MathWorld .
4. Para una demostración visual, consulte el Teorema de Napoleón a través de dos rotaciones en Cut-the-Knot .
5. Coxeter, HSM y Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisited , páginas 60-63.
6. "Teorema de Napoleón" . MathPages.com .
7. Alexander Bogomolny . "Prueba # 2 (un argumento por simetrización)" . Cut-the-knot.org . Consultado el 6 de septiembre de 2013 .
8. Cavallaro, VG (1949), "Per la storia dei teoremi atteniti a Napoleone Buonaparte ea Frank Morley", Archimede , 1 : 286-287.
9. Scriba, Christoph J (1981). "¿Wie kommt 'Napoleons Satz' zu seinem namen?" . Historia Mathematica . 8 (4): 458–459. doi : 10.1016 / 0315-0860 (81) 90054-9 .
10. Faifofer (1911), Elementi di Geometria (17ª ed.), Venezia, p. 186, pero el registro histórico cita varias ediciones en diferentes años. Esta referencia es de ( Wetzel 1992 )
11. http://solo.bodleian.ox.ac.uk/primo_library/libweb/action/dlDisplay.do?vid=OXVU1&docId=oxfaleph014134656 http://dbooks.bodleian.ox.ac.uk/books/PDFs/590315941. pdf [22,8 MB]
12. Los primeros seis y el undécimo y duodécimo libros de los elementos de Euclides; con notas e ilustraciones, y un apéndice en cinco libros (Adam y Charles B; ack, Edimburgo; Longman, Rees & co, Londres; John Cumming, Dublín; Simms & McIntyre, Belfast; James Brash & Co, Glasgow, 1834) https : //books.google.com/books? id = dQBfAAAAcAAJ
13. Clarendon Press, Oxford, 1867, págs.133-135
14. Macmillan, Londres, 1873, págs.42-43
15. Weisstein, Eric W. "Triángulo interior de Napoleón". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/InnerNapoleonTriangle.html
16. Coxeter, HSM y Greitzer, Samuel L. 1967. Geometry Revisited , página 64.
17. Weisstein, Eric W. "Triángulo exterior de Napoleón". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/OuterNapoleonTriangle.html
18. "Prismatoides isogonales" . Geometría discreta y computacional . 18 : 13–52. doi : 10.1007 / PL00009307 .
19. A. Barlotti, Intorno ad una generalizzazione di un noto teorema relativo al triangolo, Boll. Naciones Unidas. Estera. Ital. 7 no. 3 (1952) 182-185.
20. Una proprietà degli n-agoni che si ottengono transformando in una affinità un n-agono regolare, Boll. Naciones Unidas. Estera. Ital. 10 no. 3 (1955) 96–98.

Referencias

• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967). La geometría revisada . Nueva biblioteca matemática . 19 . Washington, DC : Asociación Matemática de América . págs. 60–65. ISBN 978-0-88385-619-2. Zbl  0166.16402 .
• Grünbaum, Branko (2012), "Is Napoleon's Theorem Really Napoleon's Theorem?", American Mathematical Monthly , 119 (6): 495–501, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.119.06.495 , Zbl  1264.01010
• Wetzel, John E. (abril de 1992). "Conversaciones del teorema de Napoleón" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 99 (4): 339–351. doi : 10.2307 / 2324901 . Zbl  1264.01010 . Archivado desde el original (PDF) el 29 de abril de 2014.

enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el teorema de Napoleón .

• El teorema y las generalizaciones de Napoleón , al pie de la letra
• Para ver la construcción , en instrumenpoche
• Teorema de Napoleón de Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones de Wolfram .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Napoleón" . MathWorld .
• Teorema de Napoleón y algunas generalizaciones, variaciones y conversaciones en Bocetos de geometría dinámica
• Teorema de Napoleón, dos pruebas simples
• Secuencias de hexágono regular infinito en un triángulo (generalización del teorema de Napoleón) por Alvy Ray Smith .

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