Los teoremas de incrustación de Nash (o teoremas de incrustación ), que llevan el nombre de John Forbes Nash Jr. , establecen que cada variedad de Riemann se puede incrustar isométricamente en algún espacio euclidiano . Isométrico significa preservar la longitud de cada camino . Por ejemplo, doblar pero sin estirar ni rasgar una página de papel da una incrustación isométrica de la página en el espacio euclidiano porque las curvas dibujadas en la página conservan la misma longitud de arco, independientemente de cómo se doble la página.
El primer teorema es para incrustaciones continuamente diferenciables ( C 1 ) y el segundo para incrustaciones analíticas o incrustaciones que son suaves de clase C k , 3 ≤ k ≤ ∞. Estos dos teoremas son muy diferentes entre sí. El primer teorema tiene una demostración muy simple pero conduce a algunas conclusiones contrarias a la intuición, mientras que el segundo teorema tiene una prueba técnica y contraintuitiva, pero conduce a un resultado menos sorprendente.
El teorema C 1 se publicó en 1954, el teorema C k en 1956. El teorema analítico real fue tratado por primera vez por Nash en 1966; Greene y Jacobowitz (1971) simplificaron considerablemente su argumento . ( Élie Cartan y Maurice Janet demostraron una versión local de este resultado en la década de 1920). En el caso analítico real, los operadores de suavizado (ver más abajo) en el argumento de la función inversa de Nash pueden ser reemplazados por estimaciones de Cauchy. La demostración de Nash del caso C k - se extrapoló posteriormente al principio h y al teorema de la función implícita de Nash-Moser. Günther (1989) obtuvo una demostración más simple del segundo teorema de incrustación de Nash, quien redujo el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales a un sistema elíptico, al que se podría aplicar el teorema de mapeo de contracciones .
Teorema. Sea ( M , g ) una variedad de Riemann y ƒ: M m → R n una incrustación (o inmersión ) corta de C ∞ en el espacio euclidiano R n , donde n ≥ m +1. Entonces, para ε> 0 arbitrario, hay una incrustación (o inmersión) ƒ ε : M m → R n que es
En particular, como se desprende del teorema de incrustación de Whitney , cualquier variedad de Riemanniana m -dimensional admite una incrustación C 1 isométrica en una vecindad arbitrariamente pequeña en un espacio euclidiano de 2 m- dimensiones.
El teorema fue probado originalmente por John Nash con la condición n ≥ m +2 en lugar de n ≥ m +1 y generalizado por Nicolaas Kuiper , mediante un truco relativamente fácil.