En matemáticas , particularmente en topología diferencial , hay dos teoremas de incrustación de Whitney, que llevan el nombre de Hassler Whitney :
- El fuerte Whitney incrustación teorema afirma que cualquier suavizar real de m - dimensional colector (requerido también ser Hausdorff y segundo-contable ) puede ser sin problemas incrustado en el verdadero 2 m -space ( R 2 m ), si m > 0 . Este es el mejor límite lineal en el espacio euclidiano de menor dimensión en el que se incrustan todas las variedades m- dimensionales, ya que los espacios proyectivos reales de dimensión m no se pueden incrustar en los espacios reales.(2 m - 1) -espacio si m es una potencia de dos (como puede verse en un argumento de clase característico , también debido a Whitney).
- El teorema de incrustación débil de Whitney establece que cualquier función continua de una variedad n- dimensional a una variedad m- dimensional puede aproximarse mediante una incrustación suave siempre que m > 2 n . Whitney demostró de manera similar que dicho mapa podría aproximarse mediante una inmersión siempre que m > 2 n - 1 . Este último resultado a veces se denomina teorema de inmersión de Whitney .
Un poco sobre la prueba
El esquema general de la demostración es comenzar con una inmersión f : M → R 2 m con auto-intersecciones transversales . Se sabe que existen por el trabajo anterior de Whitney sobre el teorema de inmersión débil . La transversalidad de los puntos dobles se sigue de un argumento de posición general. La idea es eliminar de alguna manera todas las auto-intersecciones. Si M tiene límite, se pueden eliminar las auto-intersecciones simplemente isotópicamente M en sí mismo (la isotopía está en el dominio de f ), a una subvariedad de M que no contiene los puntos dobles. Por lo tanto, rápidamente se nos lleva al caso en el que M no tiene límite. A veces es imposible eliminar los puntos dobles mediante una isotopía; considérese, por ejemplo, la inmersión en forma de 8 del círculo en el plano. En este caso, es necesario introducir un punto doble local.
Una vez que uno tiene dos puntos dobles opuestos, se construye un circuito cerrado que conecta los dos, dando una trayectoria cerrada en R 2 m . Dado que R 2 m está simplemente conectado , se puede suponer que esta ruta delimita un disco, y siempre que 2 m > 4 se puede suponer además (mediante el teorema de incrustación débil de Whitney ) que el disco está incrustado en R 2 m de manera que interseca la imagen de M solo en su límite. Whitney luego usa el disco para crear una familia de inmersiones de 1 parámetro , de hecho empujando M a través del disco, eliminando los dos puntos dobles en el proceso. En el caso de la inmersión en forma de 8 con su doble punto introducido, el movimiento de empuje es bastante simple (en la imagen).
Este proceso de eliminar los puntos dobles de signo opuesto empujando el colector a lo largo de un disco se llama el truco de Whitney .
Para introducir un punto doble local, Whitney creó inmersiones α m : R m → R 2 m que son aproximadamente lineales fuera de la bola unitaria, pero que contienen un solo punto doble. Para m = 1 tal inmersión viene dada por
Tenga en cuenta que si α se considera como un mapa de R 3 así:
entonces el punto doble se puede resolver en una incrustación:
Observe que β ( t , 0) = α ( t ) y para a ≠ 0, entonces, en función de t , β ( t , a ) es una incrustación.
Para dimensiones más altas m , hay α m que se pueden resolver de manera similar en R 2 m +1 . Para una incrustación en R 5 , por ejemplo, defina
Este proceso lleva en última instancia a uno a la definición:
dónde
Las propiedades clave de α m es que es una incrustación, excepto por el punto doble α m (1, 0, ..., 0) = α m (−1, 0, ..., 0) . Además, para | ( t 1 , ..., t m ) | grande, es aproximadamente la inserción lineal (0, t 1 , 0, t 2 , ..., 0, t m ) .
Consecuencias eventuales del truco de Whitney
Stephen Smale utilizó el truco de Whitney para probar el teorema del h -cobordismo ; de lo que se sigue la conjetura de Poincaré en dimensiones m ≥ 5 , y la clasificación de estructuras lisas en discos (también en dimensiones 5 en adelante). Esto proporciona la base para la teoría de la cirugía , que clasifica las variedades en la dimensión 5 y superior.
Dadas dos subvariedades orientadas de dimensiones complementarias en una variedad simplemente conectada de dimensión ≥ 5, se puede aplicar una isotopía a una de las subvariedades para que todos los puntos de intersección tengan el mismo signo.
Historia
Se dice (bastante sorprendentemente) que la ocasión de la demostración por Hassler Whitney del teorema de incrustación para variedades suaves fue la primera exposición completa del concepto de variedad precisamente porque reunió y unificó los diferentes conceptos de variedades en ese momento: ya no ¿Hubo alguna confusión en cuanto a si las variedades abstractas, definidas intrínsecamente a través de gráficos, eran más o menos generales que las variedades definidas extrínsecamente como subvariedades del espacio euclidiano? Véase también la historia de variedades y variedades para el contexto.
Resultados más nítidos
Aunque cada n- múltiple se incrusta en R 2 n , con frecuencia se puede hacer mejor. Sea e ( n ) el número entero más pequeño de modo que todos los n colectores compactos conectados se incrusten en R e ( n ) . El teorema de incrustación fuerte de Whitney establece que e ( n ) ≤ 2 n . Para n = 1, 2 tenemos e ( n ) = 2 n , como muestran el círculo y la botella de Klein . De manera más general, para n = 2 k tenemos e ( n ) = 2 n , como muestra el espacio proyectivo real de 2 k dimensiones . El resultado de Whitney se puede mejorar a e ( n ) ≤ 2 n - 1 a menos que n sea una potencia de 2. Este es el resultado de André Haefliger y Morris Hirsch (para n > 4 ) y CTC Wall (para n = 3 ); estos autores utilizaron importantes resultados preliminares y casos particulares probados por Hirsch, William S. Massey , Sergey Novikov y Vladimir Rokhlin . [1] En la actualidad, la función e no se conoce en forma cerrada para todos los enteros (compárese con el teorema de inmersión de Whitney , donde se conoce el número análogo).
Restricciones en colectores
Se pueden fortalecer los resultados imponiendo restricciones adicionales a la variedad. Por ejemplo, la n -esfera siempre se incrusta en R n + 1 , que es lo mejor posible (los n- colectores cerrados no se pueden incrustar en R n ). Cualquier superficie compacta orientable y cualquier superficie compacta con límite no vacío se incrusta en R 3 , aunque cualquier superficie cerrada no orientable necesita R 4 .
Si N es una variedad compacta orientable n- dimensional, entonces N incrusta en R 2 n - 1 (para n que no sea una potencia de 2, la condición de orientabilidad es superflua). Para n una potencia de 2, esto es el resultado de André Haefliger y Morris Hirsch (para n > 4 ) y Fuquan Fang (para n = 4 ); estos autores utilizaron importantes resultados preliminares probados por Jacques Boéchat y Haefliger, Simon Donaldson , Hirsch y William S. Massey . [1] Haefliger demostró que si N es una variedad compacta n- dimensional conectada por k , entonces N incrusta en R 2 n - k siempre que 2 k + 3 ≤ n . [1]
Versiones isotópicas
Un resultado relativamente "fácil" es demostrar que dos incrustaciones cualesquiera de un colector 1 en R 4 son isotópicas . Esto se demuestra usando la posición general, que también permite mostrar que dos incrustaciones cualesquiera de un n- múltiple en R 2 n + 2 son isotópicas. Este resultado es una versión isotópica del teorema de incrustación débil de Whitney.
Wu demostró que para n ≥ 2 , dos incrustaciones cualesquiera de un n- múltiple en R 2 n + 1 son isotópicas. Este resultado es una versión isotópica del fuerte teorema de inclusión de Whitney.
Como una versión isotopía de su resultado la incrustación, Haefliger demostró que si N es un compacto n -dimensional k comunicado con los colector, entonces cualesquiera dos inmersiones de N en R 2 n - k + 1 son isotópica proporcionado 2 k + 2 ≤ n . La restricción de dimensión 2 k + 2 ≤ n es aguda: Haefliger pasó a dar ejemplos de 3 esferas incrustadas no trivialmente en R 6 (y, más generalmente, esferas (2 d - 1) en R 3 d ). Ver más generalizaciones .
Ver también
- Teorema de representación
- Teorema de inmersión de Whitney
- Teorema de incrustación de Nash
- Teorema de Takens
- Reducción de dimensionalidad no lineal
Notas
- ^ a b c Véase la sección 2 de Skopenkov (2008)
Referencias
- Whitney, Hassler (1992), Eells, James ; Toledo, Domingo (eds.), Collected Papers , Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3560-2
- Milnor, John (1965), Conferencias sobre el teorema de h -cobordismo , Princeton University Press
- Adachi, Masahisa (1993), Embeddings and Immersions , traducido por Hudson, Kiki, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4612-4
- Skopenkov, Arkadiy (2008), "Incrustación y anudado de múltiples en espacios euclidianos", en Nicholas Young; Yemon Choi (eds.), Encuestas de Matemáticas Contemporáneas , London Math. Soc. Lect. Notes., 347 , Cambridge: Cambridge University Press , págs. 248–342, arXiv : math / 0604045 , Bibcode : 2006math ...... 4045S , MR 2388495
enlaces externos
- Clasificación de incrustaciones