Pseudodistancia natural

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En la teoría del tamaño , la pseudodistancia natural entre dos pares de tamaños es el valor , donde varía en el conjunto de todos los homeomorfismos de la variedad a la variedad y es la norma suprema . Si y no son homeomorfos, entonces la pseudodistancia natural se define como . Por lo general, se supone que , son variedades cerradas y las funciones de medición lo son . Dicho de otro modo, la pseudodistancia natural mide el mínimo del cambio de la función de medición inducido por los homeomorfismos de${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )\ }$${\displaystyle (N,\psi :N\to \mathbb {R} )\ }$${\displaystyle \inf _{h}\|\varphi -\psi \circ h\|_{\infty}\ }$${\ estilo de visualización h \}$${\ estilo de visualización M \}$${\ estilo de visualización N \}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty}\ }$${\ estilo de visualización M \}$${\ estilo de visualización N \}$${\ estilo de visualización \ infinito \ }$${\ estilo de visualización M \}$${\ estilo de visualización N \}$${\ estilo de visualización C^{1}\ }$ ${\ estilo de visualización \ varphi, \ psi \}$${\ estilo de visualización C^{1}\ }$${\ estilo de visualización M \}$a .${\ estilo de visualización N \}$

El concepto de pseudodistancia natural se puede extender fácilmente a pares de tamaños donde la función de medición toma valores en . ^[1] Cuando , el grupo de todos los homeomorfismos de puede ser reemplazado en la definición de pseudodistancia natural por un subgrupo de , obteniendo así el concepto de pseudodistancia natural con respecto al grupo . ^{[2] [3]} Los límites inferiores y las aproximaciones de la pseudodistancia natural con respecto al grupo se pueden obtener tanto mediante homología persistente -invariante ^[4]${\ estilo de visualización \ varphi \}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}\ }$${\ estilo de visualización M = N \}$${\ estilo de visualización H \}$${\ estilo de visualización M \}$${\ estilo de visualización G \}$${\ estilo de visualización H \}$${\ estilo de visualización G \}$${\ estilo de visualización G \}$${\ estilo de visualización G}$y combinando la homología persistente clásica con el uso de operadores no expansivos equivalentes a G. ^{[2] [3]}

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