Teoría del tamaño

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En matemáticas , la teoría del tamaño estudia las propiedades de los espacios topológicos dotados de funciones valoradas con respecto al cambio de estas funciones. Más formalmente, el tema de la teoría del tamaño es el estudio de la pseudodistancia natural entre pares de tamaños . Se puede encontrar una revisión de la teoría del tamaño en. ^[1]${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$

El comienzo de la teoría del tamaño tiene sus raíces en el concepto de función del tamaño , introducido por Frosini. ^{[2] Las} funciones de tamaño se han utilizado inicialmente como una herramienta matemática para la comparación de formas en la visión por computadora y el reconocimiento de patrones . ^{[3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10]}

Se hizo una extensión del concepto de función de tamaño a la topología algebraica en Grupos de homotopía de tamaño para el cálculo de distancias de tamaño natural , ^[11] donde se introdujeron grupos de homotopía de tamaño , junto con la pseudodistancia natural para funciones valoradas. Se introdujo una extensión a la teoría de la homología (el functor de tamaño ) en. ^[12] El grupo de homotopía de tamaño y el functor de tamaño están estrictamente relacionados con el concepto de grupo de homología persistente , ^[13] estudiado en homología persistente${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$. Vale la pena señalar que la función de tamaño es el rango del -ésimo grupo de homología persistente, mientras que la relación entre el grupo de homología persistente y el grupo de homotopía de tamaño es análoga a la existente entre los grupos de homología y los grupos de homotopía .${\ displaystyle 0}$

En la teoría del tamaño, las funciones de tamaño y los grupos de homotopía de tamaño se consideran herramientas para calcular los límites inferiores de la pseudodistancia natural . En realidad, existe la siguiente relación entre los valores tomados por las funciones de tamaño , y la pseudodistance naturales entre los pares de tamaño , ^[14]${\ Displaystyle \ ell _ {(N, \ psi)} ({\ bar {x}}, {\ bar {y}})}$${\ Displaystyle \ ell _ {(M, \ varphi)} ({\ tilde {x}}, {\ tilde {y}})}$ ${\ Displaystyle d ((M, \ varphi), (N, \ psi))}$${\ Displaystyle (M, \ varphi), \ (N, \ psi)}$

El intento de generalizar la teoría del tamaño y el concepto de pseudodistancia natural a normas diferentes de la norma suprema ha llevado al estudio de otras normas invariantes de reparametrización. ^[dieciséis]

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