En teoría de probabilidad y estadística , la distribución multinomial negativa es una generalización de la distribución binomial negativa (NB ( x 0 , p )) a más de dos resultados. [1]
Notación | |
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Parámetros | - el número de fallas antes de que se detenga el experimento, p ∈ R m - m -vector de probabilidades de "éxito",
p 0 = 1 - ( p 1 +… + p m ) - la probabilidad de un "fallo". |
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Apoyo | |
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PDF | donde Γ ( x ) es la función Gamma . |
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Significar | |
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Diferencia | |
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CF | |
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Al igual que con la distribución binomial negativa univariante, si el parámetro es un número entero positivo, la distribución multinomial negativa tiene una interpretación del modelo de urna . Supongamos que tenemos un experimento que genera m + 1≥2 resultados posibles, { X 0 , ..., X m }, cada uno de los cuales ocurre con probabilidades no negativas { p 0 , ..., p m } respectivamente. Si el muestreo continuara hasta que se hicieran n observaciones, entonces { X 0 , ..., X m } se habría distribuido multinomialmente . Sin embargo, si el experimento se detiene una vez que X 0 alcanza el valor predeterminado x 0 (asumiendo que x 0 es un número entero positivo), entonces la distribución de la m -tupla { X 1 , ..., X m } es multinomial negativa . Estas variables no se distribuyen multinomialmente porque su suma X 1 + ... + X m no es fija, lo que se deriva de una distribución binomial negativa .
Distribuciones marginales
Si m -dimensional x se divide de la siguiente manera
y, en consecuencia
y deja
La distribución marginal de es . Esa es la distribución marginal también es multinomial negativa con eleliminado y las p restantes se escalan correctamente para agregar a uno.
El marginal univariado es la distribución binomial negativa.
Sumas independientes
Si y si son independientes , entonces. De manera similar y viceversa, es fácil ver a partir de la función característica que el multinomio negativo es infinitamente divisible .
Agregación
Si
entonces, si las variables aleatorias con subíndices i y j se eliminan del vector y se reemplazan por su suma,
Esta propiedad de agregación se puede utilizar para derivar la distribución marginal de mencionado anteriormente.
Matriz de correlación
Las entradas de la matriz de correlación son
Método de los momentos
Si dejamos que el vector medio del multinomio negativo sea
y matriz de covarianza
,
entonces es fácil mostrar a través de las propiedades de los determinantes que. A partir de esto, se puede demostrar que
y
La sustitución de momentos muestrales produce el método de estimaciones de momentos.
y
- ^ Le Gall, F. Los modos de una distribución multinomial negativo, Estadística y Probabilidad Letters, Volumen 76, Número 6, 15 de Marzo de 2006, páginas 619-624, ISSN 0167-7152, 10.1016 / j.spl.2005.09.009 .
Waller LA y Zelterman D. (1997). Modelado logarítmico lineal con la distribución multinomial negativa. Biometrics 53: 971-82.
Johnson, Norman L .; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N. (1997). "Capítulo 36: Multinomial negativo y otras distribuciones relacionadas con multinomio". Distribuciones discretas multivariadas . Wiley. ISBN 978-0-471-12844-1.