En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un vecindario (o vecindario ) es uno de los conceptos básicos en un espacio topológico . Está estrechamente relacionado con los conceptos de decorado abierto e interior . Hablando intuitivamente, una vecindad de un punto es un conjunto de puntos que contienen ese punto donde uno puede mover una cantidad en cualquier dirección lejos de ese punto sin salir del conjunto.
Definiciones
Barrio de un punto
Si es un espacio topológico y es un punto en , un barrio dees un subconjunto de que incluye un conjunto abierto conteniendo
Esto también es equivalente al punto pertenecientes al interior topológico de en
El Barrio no necesita ser un subconjunto abierto pero cuando está abierto en entonces se llama un barrio abierto . [1] Se sabe que algunos autores exigen que los vecindarios estén abiertos, por lo que es importante tener en cuenta las convenciones.
Un conjunto que es una vecindad de cada uno de sus puntos es abierto ya que puede expresarse como la unión de conjuntos abiertos que contienen cada uno de sus puntos. Un rectángulo, como se ilustra en la figura, no es una vecindad de todos sus puntos; los puntos en los bordes o esquinas del rectángulo no están contenidos en ningún conjunto abierto que esté contenido dentro del rectángulo.
La colección de todas las vecindades de un punto se denomina sistema de vecindad en el punto.
Barrio de un conjunto
Si es un subconjunto del espacio topológicoluego un barrio de es un conjunto que incluye un conjunto abierto conteniendo . De ello se desprende que un conjunto V es un barrio de S si y sólo si se trata de un barrio de todos los puntos en S . Además, V es un barrio de S si y sólo si S es un subconjunto de la interior de V . Un barrio de S que es también un conjunto abierto se llama un entorno abierto de S . La vecindad de un punto es solo un caso especial de esta definición.
En un espacio métrico
En un espacio métrico , un conjunto es un barrio de un puntosi existe una bola abierta con centro y radio , tal que
está contenido en .
se llama vecindad uniforme de un conjunto si existe un numero positivo tal que para todos los elementos de ,
está contenido en .
Para la -vecindario de un conjunto es el conjunto de todos los puntos en que están a una distancia menor que de (o equivalente, es la unión de todas las bolas abiertas de radio que están centrados en un punto en ):
De ello se deduce directamente que un -el vecindario es un vecindario uniforme, y que un conjunto es un vecindario uniforme si y solo si contiene un -vecindario por algún valor de .
Ejemplos de
Dado el conjunto de números reales con la métrica euclidiana habitual y un subconjunto definido como
luego es un barrio para el set de números naturales , pero no es una vecindad uniforme de este conjunto.
Topología de barrios
La definición anterior es útil si la noción de conjunto abierto ya está definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, definiendo primero el sistema de vecindad y luego los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen una vecindad de cada uno de sus puntos.
Un sistema de vecindario en es la asignación de un filtro de subconjuntos de a cada en , tal que
- el punto es un elemento de cada en
- cada en contiene algunos en tal que para cada en , es en .
Se puede demostrar que ambas definiciones son compatibles, es decir, la topología obtenida del sistema de vecindad definido mediante conjuntos abiertos es la original, y viceversa al partir de un sistema de vecindad.
Barrios uniformes
En un espacio uniforme , se llama vecindad uniforme desi existe un séquito tal que contiene todos los puntos de que son -cerca de algún punto de ; es decir, para todos .
Barrio eliminado
Un vecindario eliminado de un punto(a veces llamado vecindario perforado ) es un vecindario de, sin . Por ejemplo, el intervalo es un barrio de en la línea real , por lo que el conjunto es un barrio eliminado de . Una vecindad eliminada de un punto dado no es de hecho una vecindad del punto. El concepto de vecindad eliminada se da en la definición del límite de una función y en la definición de los puntos límite (entre otras cosas).
Ver también
Referencias
- ^ Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Licenciatura en Matemáticas. Traducido por Sterling K. Berberian. Saltador. pag. 6 . ISBN 0-387-90972-9.
Según esta definición, un vecindario abierto de no es más que un subconjunto abierto de eso contiene
- Kelley, John L. (1975). Topología general . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
- Bredon, Glen E. (1993). Topología y geometría . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
- Kaplansky, Irving (2001). Establecer espacios teóricos y métricos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2694-8.