Nervio de una cubierta

Construyendo el nervio de una buena cubierta abierta que contiene 3 juegos en el plano.

En topología , el nervio de una cubierta abierta es una construcción de un complejo simplicial abstracto a partir de una cubierta abierta de un espacio topológico X que captura muchas de las propiedades topológicas interesantes de una manera algorítmica o combinatoria. Fue introducido por Pavel Alexandrov ^[1] y ahora tiene muchas variantes y generalizaciones, entre ellas el nervio Čech de una cubierta, que a su vez está generalizada por hipercubiertas . ^[2]

Definición de Alexandrov

Sea un espacio topológico, sea ​​un conjunto de índices y sea ​​una familia de subconjuntos abiertos de indexados por . El nervio de es un conjunto de subconjuntos finitos del conjunto de índices . Contiene todos los subconjuntos finitos de modo que la intersección de cuyos subíndices están en no está vacía:${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle C}$${\displaystyle I}$${\displaystyle J\subseteq I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle J}$

${\displaystyle N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.}$

${\displaystyle N(C)}$puede contener singletons (elementos tales que no están vacíos), pares (pares de elementos tales que ), tripletes, etc. Si , entonces cualquier subconjunto de también está dentro , formando un complejo simplicial abstracto , a menudo llamado complejo nervioso de .${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j\in I}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset }$${\displaystyle J\in N(C)}$${\displaystyle J}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle N(C)}$${\displaystyle C}$

Ejemplos de

1. Sea X el círculo S ¹ y C = { U ₁ , U ₂ }, donde U ₁ es un arco que cubre la mitad superior de S ¹ y U ₂ es un arco que cubre su mitad inferior, con algo de superposición en ambos lados (deben superponerse en ambos lados para cubrir todo S ¹ ). Entonces N (C) = {{1}, {2}, {1,2}}, que es un simple 1 abstracto.

2. Sea X el círculo S ¹ y C = { U ₁ , U ₂ , U ₃ }, donde cada U _i es un arco que cubre un tercio de S ¹ , con cierta superposición con la U _i adyacente . Entonces N (C) = {{1}, {2}, {3}, {1,2}, {2,3}, {3,1}}. Tenga en cuenta que {1,2,3} no está en N ( C ) ya que la intersección común de los tres conjuntos está vacía.

El nervio Čech

Dada una cubierta abierta de un espacio topológico , o más generalmente una cubierta en un sitio, podemos considerar los productos de fibra por pares , que en el caso de un espacio topológico son precisamente las intersecciones . La colección de todas esas intersecciones puede denominarse y las intersecciones triples como .${\displaystyle C=\{U_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle C\times _{X}C}$${\displaystyle C\times _{X}C\times _{X}C}$

Al considerar los mapas naturales y , podemos construir un objeto simple definido por un producto de fibra n-veces. Este es el nervio Čech. ^[3]${\displaystyle U_{ij}\to U_{i}}$${\displaystyle U_{i}\to U_{ii}}$ ${\displaystyle S(C)_{\bullet }}$${\displaystyle S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C}$

Al tomar los componentes conectados obtenemos un conjunto simplicial , que podemos darnos cuenta de topológicamente: .${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$

Teoremas de los nervios

En general, el complejo N ( C ) no necesita reflejar la topología de X con precisión. Por ejemplo, podemos cubrir cualquier n -esfera con dos conjuntos contráctiles U ₁ y U ₂ que tienen una intersección no vacía, como en el ejemplo 1 anterior. En este caso, N (C) es un 1-simplex abstracto, que es similar a una línea pero no a una esfera.

Sin embargo, en algunos casos, N ( C ) refleja la topología de X . Por ejemplo, si un círculo está cubierto por tres arcos abiertos, que se cruzan en pares como en el ejemplo 2 anterior, entonces N ( C ) es un 2-simplex (sin su interior) y es homotopía equivalente al círculo original.

^[4]

Un teorema nervio (o lema nervio ) es un teorema que da condiciones suficientes en C que garantizan que N ( C ) refleja, en cierto sentido, la topología de X .

El teorema básico del nervio de Leray dice que, si cualquier intersección de conjuntos en N (C) es contráctil (de manera equivalente: para cada finito, el conjunto es vacío o contráctil; de manera equivalente: C es una buena cubierta abierta )${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$ , entonces N ( C ) es homotopy equivalente a X . ^[5]

Otro teorema del nervio se relaciona con el nervio Čech anterior: si es compacto y todas las intersecciones de conjuntos en C son contráctiles o vacías, entonces el espacio es homotopía equivalente a . ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle |S(\pi _{0}(C))|}$${\displaystyle X}$

Teorema del nervio homológico

El siguiente teorema del nervio utiliza los grupos de homología de intersecciones de conjuntos en la cubierta. ^[7] Para cada finito , denote el j -ésimo grupo de homología reducido de .${\displaystyle J\subset I}$${\displaystyle H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=}$${\displaystyle \bigcap _{i\in J}U_{i}}$

Si H _{J, j} es el grupo trivial para todo J en el k -esqueleto de N ( C ) y para todo j en {0, ..., k -dim ( J )}, entonces N ( C ) es "homología -equivalente "a X en el siguiente sentido:

• ${\displaystyle {\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)}$para todo j en {0, ..., k };
• si entonces .${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0}$

Ver también

• Hipercubrimiento

Referencias

1. Aleksandroff, PD (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen . 98 : 617–635. doi : 10.1007 / BF01451612 . S2CID  119590045 .
2. Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (31 de diciembre de 1952). Fundamentos de la topología algebraica . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. doi : 10.1515 / 9781400877492 . ISBN 978-1-4008-7749-2.
3. "Nervio Čech en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
4. Artin, M .; Mazur, B. (1969). "Etale Homotopy". Apuntes de clase en matemáticas . 100 . doi : 10.1007 / bfb0080957 . ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN  0075-8434 .
5. 1969-, Ghrist, Robert W. (2014). Topología aplicada elemental (Edición 1.0 ed.). [Estados Unidos]. ISBN 9781502880857. OCLC  899283974 .
6. Teorema del nervio en nLab
7. Meshulam, Roy (1 de enero de 2001). "El complejo de la camarilla y el emparejamiento de hipergráficos". Combinatorica . 21 (1): 89–94. doi : 10.1007 / s004930170006 . ISSN 1439-6912 . S2CID 207006642 .