En las matemáticas , de Nesbitt desigualdad establece que para los números reales positivos a , b y c ,
Es un caso especial elemental (N = 3) de la difícil y muy estudiada desigualdad de Shapiro , y fue publicado al menos 50 años antes.
No existe un límite superior correspondiente, ya que cualquiera de las 3 fracciones de la desigualdad puede hacerse arbitrariamente grande.
Primera prueba: desigualdad AM-HM
Por la desigualdad AM - HM en,
Compensación de rendimientos en denominadores
del cual obtenemos
expandiendo el producto y recolectando denominadores similares. Esto luego se simplifica directamente al resultado final.
Segunda prueba: reordenamiento
Suponer , tenemos eso
definir
El producto escalar de las dos secuencias es máximo debido a la desigualdad de reordenamiento si están organizadas de la misma manera, llame y el vector desplazado en uno y en dos, tenemos:
La suma produce la desigualdad de Nesbitt deseada.
Tercera prueba: suma de cuadrados
La siguiente identidad es verdadera para todos
Esto demuestra claramente que el lado izquierdo es nada menos que para a, by c positivos.
Nota: toda desigualdad racional se puede demostrar transformándola en la identidad apropiada de suma de cuadrados, ver el decimoséptimo problema de Hilbert .
Cuarta prueba: Cauchy – Schwarz
Invocando la desigualdad de Cauchy-Schwarz en los vectores rendimientos
que se puede transformar en el resultado final como hicimos en la prueba AM-HM .
Quinta prueba: AM-GM
Dejar . Luego aplicamos la desigualdad AM-GM para obtener lo siguiente
porque
Sustituyendo el a favor de rendimientos
que luego se simplifica al resultado final.
Sexta prueba: el lema de Titu
El lema de Titu, una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , establece que para cualquier secuencia de numeros reales y cualquier secuencia de números positivos , . Usamos su instancia de tres términos con-secuencia y -secuencia :
Al multiplicar todos los productos en el lado menor y recopilar términos similares, obtenemos
que simplifica a
Por el reordenamiento de la desigualdad , tenemos, por lo que la fracción del lado menor debe ser al menos . Por lo tanto,
Séptima prueba: homogénea
Como el lado izquierdo de la desigualdad es homogéneo, podemos suponer . Ahora define, , y . La desigualdad deseada se convierte en, o equivalente, . Esto es claramente cierto por el Lema de Titu.
Octava prueba: la desigualdad de Jensen
Definir y considera la función . Se puede demostrar que esta función es convexa ene, invocando la desigualdad de Jensen , obtenemos
Un cálculo sencillo produce
Novena prueba: reducción a una desigualdad de dos variables
Limpiando denominadores,
Ahora basta con demostrar que por , como sumando esto tres veces para y completa la prueba.
Como hemos terminado.