El decimoséptimo problema de Hilbert es uno de los 23 problemas de Hilbert establecidos en una célebre lista compilada en 1900 por David Hilbert . Se refiere a la expresión de funciones racionales definidas positivas como sumas de cocientes de cuadrados . La pregunta original puede reformularse como:
- Dado un polinomio multivariado que toma solo valores no negativos sobre los reales, ¿se puede representar como una suma de cuadrados de funciones racionales?
La pregunta de Hilbert puede restringirse a polinomios homogéneos de grado par, ya que un polinomio de grado impar cambia de signo, y la homogeneización de un polinomio toma solo valores no negativos si y solo si lo mismo es cierto para el polinomio.
Motivación
La formulación de la pregunta tiene en cuenta que existen polinomios no negativos , por ejemplo [1]
que no se puede representar como una suma de cuadrados de otros polinomios . En 1888, Hilbert demostró que todo polinomio homogéneo no negativo en n variables y grado 2 d se puede representar como suma de cuadrados de otros polinomios si y solo si (a) n = 2 o (b) 2 d = 2 o ( c) n = 3 y 2 d = 4. [2] La demostración de Hilbert no mostró ningún contraejemplo explícito: sólo en 1967 Motzkin construyó el primer contraejemplo explícito. [3]
La siguiente tabla resume en qué casos un polinomio homogéneo (o un polinomio de grado par) se puede representar como una suma de cuadrados:
¿El polinomio homogéneo se puede representar como suma de cuadrados? | 2 d (grado) | ¿El polinomio de grado par se puede representar como suma de cuadrados? | 2 d (grado) | |||||||
2 | 4 | ≥6 | 2 | 4 | ≥6 | |||||
n (número de variables) | 1 | sí | sí | sí | n (número de variables) | 1 | sí | sí | sí | |
2 | sí | sí | sí | 2 | sí | sí | No | |||
3 | sí | sí | No | 3 | sí | No | No | |||
≥4 | sí | No | No | ≥4 | sí | No | No |
Solución y generalizaciones
El caso particular de n = 2 ya fue resuelto por Hilbert en 1893. [4] El problema general fue resuelto afirmativamente, en 1927, por Emil Artin , [5] para funciones semidefinitas positivas sobre los reales o más generalmente real-cerrado campos . Charles Delzell encontró una solución algorítmica en 1984. [6] Un resultado de Albrecht Pfister [7] muestra que una forma semidefinida positiva en n variables se puede expresar como una suma de 2 n cuadrados. [8]
Dubois demostró en 1967 que la respuesta es negativa en general para campos ordenados . [9] En este caso se puede decir que un polinomio positivo es una suma de cuadrados ponderados de funciones racionales con coeficientes positivos. [10]
Gondard , Ribenboim [11] y Procesi, Schacher, [12] dieron una generalización al caso de la matriz (las matrices con entradas de función polinomial que siempre son semidefinidas positivas pueden expresarse como suma de cuadrados de matrices simétricas con entradas de función racionales) con una prueba elemental dada por Hillar y Nie. [13]
Número mínimo de términos racionales cuadrados
Es una pregunta abierta cuál es el número más pequeño
tal que cualquier polinomio n -variable, no negativo de grado d se puede escribir como suma de como máximo funciones racionales cuadradas sobre los reales.
El resultado más conocido (a partir de 2008[actualizar]) es
debido a Pfister en 1967. [7]
En el análisis complejo, el análogo hermitiano, que requiere que los cuadrados sean normas cuadradas de mapeos holomórficos, es algo más complicado, pero cierto para polinomios positivos por un resultado de Quillen. [14] El resultado de Pfister, por otro lado, falla en el caso de Hermitian, es decir, no hay límite en el número de cuadrados requeridos, ver D'Angelo-Lebl. [15]
Ver también
Notas
- ^ Marie-Françoise Roy . El papel de los problemas de Hilbert en la geometría algebraica real. Actas de la novena reunión de EWM, Loccum, Alemania 1999
- ^ Hilbert, David (septiembre de 1888). "Ueber die Darstellung definiter Formen als Summe von Formenquadraten" . Mathematische Annalen . 32 (3): 342–350. doi : 10.1007 / bf01443605 .
- ^ Motzkin, TS (1967). "La desigualdad aritmético-geométrica". En Shisha, Oved (ed.). Desigualdades . Prensa académica. págs. 205–224.
- ^ Hilbert, David (diciembre de 1893). "Über ternäre definite Formen" (PDF) . Acta Mathematica . 17 (1): 169-197. doi : 10.1007 / bf02391990 .
- ^ Artin, Emil (1927). "Über die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 5 (1): 100-115. doi : 10.1007 / BF02952513 .
- ^ Delzell, CN (1984). "Una solución continua y constructiva al decimoséptimo problema de Hilbert". Inventiones Mathematicae . 76 (3): 365–384. Código bibliográfico : 1984InMat..76..365D . doi : 10.1007 / BF01388465 . Zbl 0547.12017 .
- ^ a b Pfister, Albrecht (1967). "Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten". Inventiones Mathematicae (en alemán). 4 (4): 229-237. Código bibliográfico : 1967InMat ... 4..229P . doi : 10.1007 / bf01425382 . Zbl 0222.10022 .
- ^ Lam (2005) p.391
- ^ Dubois, DW (1967). "Nota sobre la solución de Artin del problema 17 de Hilbert" . Toro. Soy. Matemáticas. Soc . 73 (4): 540–541. doi : 10.1090 / s0002-9904-1967-11736-1 . Zbl 0164.04502 .
- ↑ Lorenz (2008) p.16
- ^ Gondard, Danielle; Ribenboim, Paulo (1974). "Le 17e problème de Hilbert pour les matrices". Toro. Sci. Matemáticas. (2) . 98 (1): 49–56. Señor 0432613 . Zbl 0298.12104 .
- ^ Procesi, Claudio; Schacher, Murray (1976). "Un Nullstellensatz real no conmutativo y el 17º problema de Hilbert". Ana. de Matemáticas . 2. 104 (3): 395–406. doi : 10.2307 / 1970962 . JSTOR 1970962 . Señor 0432612 . Zbl 0347.16010 .
- ^ Hillar, Christopher J .; Nie, Jiawang (2008). "Una solución elemental y constructiva al decimoséptimo problema de Hilbert para matrices". Proc. Soy. Matemáticas. Soc . 136 (1): 73–76. arXiv : matemáticas / 0610388 . doi : 10.1090 / s0002-9939-07-09068-5 . Zbl 1126.12001 .
- ^ Quillen, Daniel G. (1968). "Sobre la representación de formas hermitianas como sumas de cuadrados". Inventar. Matemáticas . 5 (4): 237–242. Código Bibliográfico : 1968InMat ... 5..237Q . doi : 10.1007 / bf01389773 . Zbl 0198.35205 .
- ^ D'Angelo, John P .; Lebl, Jiri (2012). "El teorema de Pfister falla en el caso de Hermitian". Proc. Soy. Matemáticas. Soc . 140 (4): 1151-1157. arXiv : 1010.3215 . doi : 10.1090 / s0002-9939-2011-10841-4 . Zbl 1309.12001 .
Referencias
- Pfister, Albrecht (1976). "Decimoséptimo problema de Hilbert y problemas relacionados en formas definidas". En Felix E. Browder (ed.). Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert . Actas de simposios en matemáticas puras . XXVIII.2. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 483–489. ISBN 0-8218-1428-1.
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
- Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Springer-Verlag . págs. 15-27. ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .
- Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. 171 . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .