En el campo matemático del análisis complejo , la teoría de Nevanlinna forma parte de la teoría de las funciones meromórficas . Fue ideado en 1925 por Rolf Nevanlinna . Hermann Weyl lo ha llamado "uno de los pocos grandes eventos matemáticos del siglo XX". [1] La teoría describe la distribución asintótica de soluciones de la ecuación f ( z ) = a , como a varía. Una herramienta fundamental es la característica de Nevanlinna T ( r , f ) que mide la tasa de crecimiento de una función meromórfica.
Otros contribuyentes principales en la primera mitad del siglo XX fueron Lars Ahlfors , André Bloch , Henri Cartan , Edward Collingwood , Otto Frostman , Frithiof Nevanlinna , Henrik Selberg , Tatsujiro Shimizu, Oswald Teichmüller y Georges Valiron . En su forma original, la teoría de Nevanlinna se ocupa de las funciones meromórficas de una variable compleja definida en un disco | z | ≤ R o en todo el plano complejo ( R = ∞). Las generalizaciones posteriores extendieron la teoría de Nevanlinna a funciones algebroides, curvas holomórficas , mapas holomórficos entre variedades complejas de dimensión arbitraria, mapas cuasirregulares y superficies mínimas .
Este artículo describe principalmente la versión clásica para funciones meromórficas de una variable, con énfasis en funciones meromórficas en el plano complejo. Las referencias generales para esta teoría son Goldberg y Ostrovskii, [2] Hayman [3] y Lang (1987) .
Característica de Nevanlinna
Definición original de Nevanlinna
Sea f una función meromórfica. Para cada r ≥ 0, sea n ( r , f ) el número de polos, contando la multiplicidad, de la función meromórfica f en el disco | z | ≤ r . Luego defina la función de conteo de Nevanlinna por
Esta cantidad mide el crecimiento del número de polos en los discos | z | ≤ r , a medida que r aumenta. Explícitamente, dejar que un 1 , un 2 , ..., un n ser los polos de ƒ en el disco perforado 0 <| z | ≤ r repetido según multiplicidad. Entonces n = n ( r , f ) - n (0, f ), y
Deje log + x = max (log x , 0). Entonces la función de proximidad se define por
Finalmente, defina la característica de Nevanlinna por (cf. fórmula de Jensen para funciones meromórficas)
Versión Ahlfors – Shimizu
Un segundo método para definir la característica de Nevanlinna se basa en la fórmula
donde dm es el elemento de área en el plano. La expresión del lado izquierdo se llama característica Ahlfors-Shimizu. El término acotado O (1) no es importante en la mayoría de las preguntas.
El significado geométrico de la característica Ahlfors-Shimizu es el siguiente. La integral interna dm es el área esférica de la imagen del disco | z | ≤ t , contando multiplicidad (es decir, las partes de la esfera de Riemann cubiertas k veces se cuentan k veces). Esta área está dividida por π, que es el área de toda la esfera de Riemann. El resultado se puede interpretar como el número medio de hojas en el recubrimiento de la esfera de Riemann por el disco | z | ≤ t . Entonces, este número de cobertura promedio se integra con respecto a t con peso 1 / t .
Propiedades
El papel de la función característica en la teoría de las funciones meromórficas en el plano es similar al de
en la teoría de funciones completas . De hecho, es posible comparar directamente T ( r , f ) y M ( r , f ) para una función completa:
y
para cualquier R > r .
Si f es una función racional de grado d , entonces T ( r , f ) ~ d log r ; de hecho, T ( r , f ) = O (log r ) si y solo si f es una función racional.
El orden de una función meromórfica está definido por
Las funciones de orden finito constituyen una subclase importante que fue muy estudiada.
Cuando el radio R del disco | z | ≤ R , en el que se define la función meromórfica, es finito, la característica de Nevanlinna puede estar acotada. Las funciones en un disco con característica acotada, también conocidas como funciones de tipo acotado , son exactamente aquellas funciones que son proporciones de funciones analíticas acotadas. Las funciones de tipo acotado también pueden definirse así para otro dominio, como el semiplano superior .
Primer teorema fundamental
Sea a ∈ C , y defina
Para a = ∞, establecemos N ( r , ∞, f ) = N ( r , f ), m ( r , ∞, f ) = m ( r , f ).
El primer teorema fundamental de la teoría de Nevanlinna establece que para cada a en la esfera de Riemann ,
donde el término acotado O (1) puede depender de f y a . [4] Para funciones meromórficas no constantes en el plano, T ( r , f ) tiende a infinito como r tiende a infinito, por lo que el primer teorema fundamental dice que la suma N ( r , a , f ) + m ( r , a , f ), tiende al infinito a una tasa que es independiente de a . El primer teorema fundamental es una simple consecuencia de la fórmula de Jensen .
La función característica tiene las siguientes propiedades del grado:
donde m es un número natural. El término acotado O (1) es insignificante cuando T ( r , f ) tiende a infinito. Estas propiedades algebraicas se obtienen fácilmente de la definición de Nevanlinna y la fórmula de Jensen.
Segundo teorema fundamental
Definimos N ( r , f ) de la misma manera que N ( r , f ) pero sin tener en cuenta la multiplicidad (es decir, solo contamos el número de polos distintos). Entonces N 1 ( r , f ) se define como la función de conteo de Nevanlinna de los puntos críticos de f , es decir
El segundo teorema fundamental dice que para cada k valores distintos a j en la esfera de Riemann, tenemos
Esto implica
donde S ( r , f ) es un "término de error pequeño".
Para funciones meromórficas en el plano, S ( r , f ) = o ( T ( r , f )), fuera de un conjunto de longitud finita, es decir, el término de error es pequeño en comparación con la característica de "la mayoría" de los valores de r . Se conocen estimaciones mucho mejores del término de error, pero Andre Bloch conjeturó y Hayman demostró que no se puede disponer de un conjunto excepcional.
El segundo teorema fundamental permite dar un límite superior para la función característica en términos de N ( r , a ). Por ejemplo, si f es una función completa trascendental, usando el segundo teorema fundamental con k = 3 y a 3 = ∞, obtenemos que f toma cada valor infinitamente a menudo, con como máximo dos excepciones, lo que demuestra el teorema de Picard .
La demostración original de Nevanlinna del Segundo Teorema Fundamental se basó en el llamado Lema de la derivada logarítmica , que dice que m ( r , f ' / f ) = S ( r , f ). Una prueba similar también se aplica a muchas generalizaciones multidimensionales. También hay demostraciones geométricas diferenciales que lo relacionan con el teorema de Gauss-Bonnet . El Segundo Teorema Fundamental también puede derivarse de la teoría métrico-topológica de Ahlfors , que puede considerarse como una extensión de la fórmula de Riemann-Hurwitz a las cubiertas de grado infinito.
Las demostraciones de Nevanlinna y Ahlfors indican que la constante 2 en el Segundo Teorema Fundamental está relacionada con la característica de Euler de la esfera de Riemann. Sin embargo, hay explicaciones muy diferentes de este 2, basadas en una profunda analogía con la teoría de números descubierta por Charles Osgood y Paul Vojta . Según esta analogía, 2 es el exponente del teorema de Thue-Siegel-Roth . Sobre esta analogía con la teoría de números nos remitimos a la encuesta de Lang (1987) y al libro de Ru (2001) .
Relación de defecto
La relación de defecto es uno de los principales corolarios del Segundo Teorema Fundamental. El defecto de una función meromórfica en el punto a está definido por la fórmula
Según el primer teorema fundamental, 0 ≤ δ ( a , f ) ≤ 1, si T ( r , f ) tiende a infinito (que siempre es el caso de funciones no constantes meromorfas en el plano). Los puntos a para los que δ ( a , f )> 0 se denominan valores deficientes . El Segundo Teorema Fundamental implica que el conjunto de valores deficientes de una función meromórfica en el plano es como mucho contable y se cumple la siguiente relación:
donde la suma supera todos los valores deficientes. [5] Esto puede considerarse como una generalización del teorema de Picard . Muchos otros teoremas de tipo Picard pueden derivarse del Segundo Teorema Fundamental.
Como otro corolario del Segundo Teorema Fundamental, se puede obtener que
que generaliza el hecho de que una función racional de grado d tiene 2 d - 2 <2 d puntos críticos.
Aplicaciones
La teoría de Nevanlinna es útil en todas las cuestiones en las que surgen funciones meromórficas trascendentales, como la teoría analítica de ecuaciones diferenciales y funcionales [6] [7] dinámica holomórfica , superficies mínimas y geometría hiperbólica compleja, que trata de generalizaciones del teorema de Picard a dimensiones superiores. [8]
Mayor desarrollo
Una parte sustancial de la investigación en funciones de una variable compleja en el siglo XX se centró en la teoría de Nevanlinna. Una dirección de esta investigación fue averiguar si las principales conclusiones de la teoría de Nevanlinna son las mejores posibles. Por ejemplo, la teoría del problema inverso de Nevanlinna consiste en construir funciones meromórficas con deficiencias preasignadas en puntos dados. Esto fue resuelto por David Drasin en 1976. [9] Otra dirección se concentró en el estudio de varias subclases de la clase de todas las funciones meromórficas en el plano. La subclase más importante consta de funciones de orden finito. Resulta que para esta clase, las deficiencias están sujetas a varias restricciones, además de la relación de defecto (Norair Arakelyan, David Drasin , Albert Edrei, Alexandre Eremenko , Wolfgang Fuchs , Anatolii Goldberg , Walter Hayman , Joseph Miles, Daniel Shea, Oswald Teichmüller , Alan Weitsman y otros).
Henri Cartan , Joachim y Hermann Weyl [1] y Lars Ahlfors extendieron la teoría de Nevanlinna a las curvas holomórficas . Esta extensión es la herramienta principal de la geometría hiperbólica compleja. [10] Henrik Selberg y George Valiron ampliaron la teoría de Nevanlinna a las funciones algebroides . [11] Todavía continúa la investigación intensiva en la teoría clásica unidimensional. [12]
Ver también
- Conjetura de Vojta
Referencias
- ↑ a b H. Weyl (1943). Funciones meromórficas y curvas analíticas . Prensa de la Universidad de Princeton . pag. 8.
- ^ Goldberg, A .; Ostrovskii, I. (2008). Distribución de valores de funciones meromorfas . Sociedad Matemática Estadounidense .
- ^ Hayman, W. (1964). Funciones meromorfas . Prensa de la Universidad de Oxford .
- ↑ Ru (2001) p.5
- ↑ Ru (2001) p.61
- ^ Ilpo Laine (1993). Teoría de Nevanlinna y ecuaciones diferenciales complejas . Berlín: Walter de Gruyter .
- ^ Eremenko, A. (1982). "Soluciones meromórficas de ecuaciones diferenciales algebraicas". Encuestas matemáticas rusas . 37 (4): 61–95. Código Bibliográfico : 1982RuMaS..37 ... 61E . CiteSeerX 10.1.1.139.8499 . doi : 10.1070 / RM1982v037n04ABEH003967 .
- ↑ Lang (1987) p.39
- ^ Drasin, David (1976). "El problema inverso de la teoría de Nevanlinna" . Acta Math. 138 (1): 83-151. doi : 10.1007 / BF02392314 . Señor 0585644 .
- ↑ Lang (1987) cap . VII
- ^ Valiron, G. (1931). "Sur la dérivée des fonctions algébroïdes". Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 59 . págs. 17–39.
- ^ A. Eremenko y J. Langley (2008). Funciones meromórficas de una variable compleja. Una encuesta , apareció como apéndice a Goldberg, A .; Ostrovskii, I. (2008). Distribución de valores de funciones meromorfas . Sociedad Matemática Estadounidense .
- Lang, Serge (1987). Introducción a espacios hiperbólicos complejos . Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96447-8. Zbl 0628.32001 .
- Lang, Serge (1997). Estudio de geometría diofántica . Springer-Verlag . págs. 192–204. ISBN 978-3-540-61223-0. Zbl 0869.11051 .
- Nevanlinna, Rolf (1925), "Zur Theorie der Meromorphen Funktionen", Acta Mathematica , 46 (1–2): 1–99, doi : 10.1007 / BF02543858 , ISSN 0001-5962
- Nevanlinna, Rolf (1970) [1936], Funciones analíticas , Die Grundlehren der Mathischen Wissenschaften, 162 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0279280
- Ru, Min (2001). Teoría de Nevanlinna y su relación con la aproximación diofántica . Publicaciones científicas mundiales. ISBN 978-981-02-4402-6.
Otras lecturas
- Bombieri, Enrico ; Gubler, Walter (2006). "13. Teoría de Nevanlinna". Alturas en geometría diofántica . Nuevas monografías matemáticas. 4 . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 444–478. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034 .
- Vojta, Paul (1987). Aproximaciones diofánticas y teoría de la distribución de valores . Apuntes de clase en matemáticas. 1239 . Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-17551-3. Zbl 0609.14011 .
- Vojta, Paul (2011). "Aproximación diofántica y teoría de Nevanlinna". En Corvaja, Pietro; Gasbarri, Carlo (eds.). Geometría aritmética. Conferencias impartidas en la escuela de verano del CIME, Cetraro, Italia, del 10 al 15 de septiembre de 2007 . Apuntes de clase en matemáticas. 2009 . Berlín: Springer-Verlag . págs. 111–224. ISBN 978-3-642-15944-2. Zbl 1258.11076 .
enlaces externos
- Petrenko, VP (2001) [1994], "Teoría de la distribución de valores" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Petrenko, VP (2001) [1994], "Teoremas de Nevanlinna" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press