La teoría de Ahlfors es una teoría matemática inventada por Lars Ahlfors como contraparte geométrica de la teoría de Nevanlinna . Ahlfors recibió una de las dos primeras medallas Fields por esta teoría en 1936.
Puede considerarse como una generalización de las propiedades básicas de los mapas de cobertura a los mapas que son "casi coberturas" en un sentido bien definido. Se aplica a las superficies de Riemann bordeadas equipadas con métricas de Riemann conformes .
Preliminares
Una superficie de Riemann bordeada X se puede definir como una región en una superficie de Riemann compacta cuyo límite ∂ X consiste en un número finito de curvas de Jordan disjuntas. En la mayoría de las aplicaciones, estas curvas son analíticas por partes, pero existe alguna condición explícita de regularidad mínima en estas curvas que es necesaria para que la teoría funcione; se llama la regularidad de Ahlfors . Una métrica de Riemann conforme se define por un elemento de longitud ds que se expresa en coordenadas locales conformes z como ds = ρ ( z ) | dz |, donde ρ es una función positiva suave con ceros aislados. Si los ceros están ausentes, entonces la métrica se llama suave. El elemento de longitud define las longitudes de las curvas rectificables y las áreas de las regiones mediante las fórmulas
Entonces, la distancia entre dos puntos se define como el mínimo de las longitudes de las curvas que conectan estos puntos.
Configuración y notación
Sean X e Y dos superficies de Riemann bordeadas, y suponga que Y está equipada con una métrica conforme suave (incluida la frontera) σ ( z ) dz . Deje que f sea un mapa holomorphic de X a Y . Luego existe la métrica de retroceso en X , que se define por
Cuando X está equipado con esta métrica, f se convierte en una isometría local ; es decir, la longitud de una curva es igual a la longitud de su imagen. Todas las longitudes y áreas en X e Y se miden con respecto a estas dos métricas.
Si f envía el límite de X al límite de Y , entonces f es una cobertura ramificada . En particular,
- a) Cada punto tiene el mismo número (finito) de preimágenes, contando multiplicidad. Este número es el grado de cobertura.
- b) La fórmula de Riemann-Hurwitz sostiene, en particular, que la característica de Euler de X es como máximo la característica de Euler de Y multiplicado por el grado.
Ahora supongamos que una parte de los límites de X se asigna al interior de Y . Esta parte se llama límite relativo . Sea L la longitud de este límite relativo.
Primer teorema principal
El número de cobertura promedio se define mediante la fórmula
Este número es una generalización del grado de cobertura. De manera similar, para cada curva regular γ y para cada región regular D en Y , se definen los números de cobertura promedio:
El primer teorema principal dice que para cada región regular y cada curva regular,
donde L es la longitud del límite relativo, y k es la constante que pueden depender sólo de Y , σ , D y γ , pero es independiente de f y X . Cuando L = 0, estas desigualdades se convierten en un análogo débil de la propiedad a) de los revestimientos.
Segundo teorema principal
Sea ρ el negativo de la característica de Euler (de modo que ρ = 2m - 2 para la esfera con m agujeros). Luego
Esto es significativo solo cuando ρ ( Y )> 0, por ejemplo, cuando Y es una esfera con tres (o más) agujeros. En este caso, el resultado puede considerarse como una generalización de la propiedad b) de los revestimientos.
Aplicaciones
Supongamos ahora que Z es una superficie de Riemann abierta, por ejemplo, el plano complejo o el disco unitario, y que Z esté equipado con una métrica conforme ds . Decimos que ( Z , ds ) es regularmente agotable si hay una secuencia creciente de superficies bordeadas D j contenidas en Z con sus cierres, cuya unión en Z , y tal que
Ahlfors demostró que el plano complejo con métrica conforme arbitraria es regularmente agotable. Este hecho, junto con los dos teoremas principales, implica el teorema de Picard y el segundo teorema principal de la teoría de Nevanlinna . Muchas otras generalizaciones importantes del teorema de Picard pueden obtenerse de la teoría de Ahlfors.
Un resultado especialmente sorprendente (conjeturado anteriormente por André Bloch ) es el teorema de las Cinco Islas .
Teorema de las cinco islas
Sean D 1 , ..., D 5 cinco regiones de Jordan en la esfera de Riemann con cierres disjuntos. Entonces existe una constante c , que depende solo de estas regiones y que tiene la siguiente propiedad:
Sea f una función meromórfica en el disco unitario tal que la derivada esférica satisfaga
Entonces hay una región G simplemente conectada contenida con su cierre en el disco unitario, de manera que f mapea G en una de las regiones D j homeomórficamente.
Esto no es válido para cuatro regiones. Tomemos, por ejemplo, f ( z ) = ℘ ( Kz ), donde K > 0 es arbitrariamente grande, y ℘ es la función elíptica de Weierstrass que satisface la ecuación diferencial
Todas las preimágenes de los cuatro puntos e 1 , e 2 , e 3 , ∞ son múltiples, por lo que si tomamos cuatro discos con cierres disjuntos alrededor de estos puntos, no habrá ninguna región que esté mapeada en ninguno de estos discos de forma homeomórfica.
Observaciones
Además del artículo original de Ahlfors, [1] la teoría se explica en libros. [2] [3] [4] Se pueden encontrar demostraciones simplificadas del Segundo Teorema Principal en los artículos de Toki [5] y de Thelin. [6]
Bergweiler desarrolló una prueba simple del teorema de las cinco islas, sin depender de la teoría de Ahlfors. [7]
Referencias
- ^ Ahlfors, L. (1935). "Zur Theorie der Uberlagerungsflachen". Acta Mathematica . 65 : 157-194 (alemán).
- ^ Hayman, W. (1964). Funciones meromorfas . Prensa de la Universidad de Oxford .
- ^ Nevanlinna, R. (1970). Funciones analíticas . Springer Verlag .
- ^ Tsuji, M. (1959). Teoría del potencial en la teoría de funciones moderna . Tokio: Maruzen .
- ^ Toki, Yukinari (1957). "Prueba del teorema de cobertura principal de Ahlfors". Rev. Math. Pures Appl . 2 : 277–280.
- ^ de Thelin, Henry (2005). "Une démonstration du théorème de recouvrement de surface d'Ahlfors". Ana. Fac. Sci. Toulouse Math . 51 : 203-209. (Francés).
- ^ Bergweiler, W. (1998). "Una nueva prueba del teorema de las cinco islas de Ahlfors". J. Anal. Matemáticas . 76 : 337–347.