Transformada de ondas armónicas

En las matemáticas del procesamiento de señales , la transformada armónica de ondículas , introducida por David Edward Newland en 1993, es una transformación lineal basada en ondículas de una función dada en una representación de tiempo-frecuencia . Combina las ventajas de la transformada de Fourier de corta duración y la transformada de ondícula continua . Se puede expresar en términos de transformadas de Fourier repetidas , y su análogo discreto se puede calcular de manera eficiente utilizando un algoritmo de transformada de Fourier rápida .

Ondas armónicas

La transformación utiliza una familia de ondículas "armónicas" indexadas por dos enteros j (el "nivel" u "orden") yk (la "traducción"), dado por , donde${\displaystyle w(2^{j}t-k)\!}$

${\displaystyle w(t)={\frac {e^{i4\pi t}-e^{i2\pi t}}{i2\pi t}}.}$

Estas funciones son ortogonales y sus transformadas de Fourier son una función de ventana cuadrada (constante en una determinada banda de octava y cero en el resto). En particular, satisfacen:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt={\frac {1}{2^{j}}}\delta _{j,j'}\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot w(2^{j'}t-k')\,dt=0}$

donde "*" denota conjugación compleja y es el delta de Kronecker .${\displaystyle \delta }$

A medida que aumenta el orden j , estas ondículas se localizan más en el espacio de Fourier (frecuencia) y en bandas de frecuencia más altas y, a la inversa, se vuelven menos localizadas en el tiempo ( t ). Por lo tanto, cuando se utilizan como base para expandir una función arbitraria, representan comportamientos de la función en diferentes escalas de tiempo (y en diferentes desplazamientos de tiempo para diferentes k ).

Sin embargo, es posible combinar todos los órdenes negativos ( j <0) juntos en una sola familia de funciones de "escala" donde${\displaystyle \varphi (t-k)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {e^{i2\pi t}-1}{i2\pi t}}.}$

La función φ es ortogonal a sí misma para diferentes k y también es ortogonal a las funciones de ondículas para j no negativos :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=\delta _{k,k'}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w^{*}(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }w(2^{j}t-k)\cdot \varphi (t-k')\,dt=0{\text{ for }}j\geq 0.}$

En la transformada de ondículas armónicas, por lo tanto, una función arbitraria de valor real o complejo (en L2 ) se expande en la base de las ondículas armónicas (para todos los enteros j ) y sus conjugados complejos:${\displaystyle f(t)}$

${\displaystyle f(t)=\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right],}$

o alternativamente en la base de las ondículas para j no negativo complementado por las funciones de escala φ :

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{k}\varphi (t-k)+{\tilde {a}}_{k}\varphi ^{*}(t-k)\right]+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{j,k}w(2^{j}t-k)+{\tilde {a}}_{j,k}w^{*}(2^{j}t-k)\right].}$

Entonces, los coeficientes de expansión pueden, en principio, calcularse utilizando las relaciones de ortogonalidad:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w^{*}(2^{j}t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{j,k}&{}=2^{j}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot w(2^{j}t-k)\,dt\\a_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi ^{*}(t-k)\,dt\\{\tilde {a}}_{k}&{}=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\cdot \varphi (t-k)\,dt.\end{aligned}}}$

Para un valor real-función f ( t ), y así se puede reducir el número de coeficientes de expansión independientes en medio.${\displaystyle {\tilde {a}}_{j,k}=a_{j,k}^{*}}$${\displaystyle {\tilde {a}}_{k}=a_{k}^{*}}$

Esta expansión tiene la propiedad, análoga al teorema de Parseval , de que:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{j=-\infty }^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(|a_{k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{k}|^{2}\right)+\sum _{j=0}^{\infty }\sum _{k=-\infty }^{\infty }2^{-j}\left(|a_{j,k}|^{2}+|{\tilde {a}}_{j,k}|^{2}\right)\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx.\end{aligned}}}$

Sin embargo, en lugar de calcular los coeficientes de expansión directamente a partir de las relaciones de ortogonalidad, es posible hacerlo utilizando una secuencia de transformadas de Fourier. Esto es mucho más eficiente en el análogo discreto de esta transformada ( t discreta ), donde puede explotar los algoritmos rápidos de la transformada de Fourier .

Referencias

• David E. Newland, "Análisis de ondas armónicas", Actas de la Real Sociedad de Londres, Serie A (Ciencias Físicas y Matemáticas) , vol. 443 , no. 1917, pág. 203–225 (8 de octubre de 1993).
• Wavelets: la clave para la información intermitente por BW Silverman y JC Vassilicos, Oxford University Press, 2000. ( ISBN  0-19-850716-X )
• B. Boashash, editor, "Análisis y procesamiento de señales de frecuencia y tiempo: una referencia completa", Elsevier Science, Oxford, 2003.