En la mecánica clásica , el teorema de Newton de las órbitas giratorias identifica el tipo de fuerza central necesaria para multiplicar la velocidad angular de una partícula por un factor k sin afectar su movimiento radial (Figuras 1 y 2). Newton aplicó su teorema para comprender la rotación general de las órbitas ( precesión absidal , Figura 3) que se observa para la Luna y los planetas . El término "movimiento radial" significa el movimiento hacia o desde el centro de fuerza, mientras que el movimiento angular es perpendicular al movimiento radial.
Isaac Newton derivó este teorema en las Proposiciones 43-45 del Libro I de su Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica , publicado por primera vez en 1687. En la Proposición 43, mostró que la fuerza agregada debe ser una fuerza central, una cuya magnitud depende solo de la distancia r entre la partícula y un punto fijo en el espacio (el centro). En la Proposición 44, derivó una fórmula para la fuerza, mostrando que era una fuerza de cubo inverso, una que varía como el cubo inverso de r . En la Proposición 45, Newton extendió su teorema a fuerzas centrales arbitrarias suponiendo que la partícula se movía en una órbita casi circular.
Como señaló el astrofísico Subrahmanyan Chandrasekhar en su comentario de 1995 sobre los Principia de Newton , este teorema permaneció en gran parte desconocido y sin desarrollar durante más de tres siglos. [1] Desde 1997, el teorema ha sido estudiado por Donald Lynden-Bell y colaboradores. [2] [3] Su primera extensión exacta se produjo en 2000 con el trabajo de Mahomed y Vawda. [4]
Contexto histórico
El movimiento de los cuerpos astronómicos se ha estudiado sistemáticamente durante miles de años. Se observó que las estrellas giraban uniformemente, siempre manteniendo las mismas posiciones relativas entre sí. Sin embargo, se observó que otros cuerpos vagaban contra el fondo de las estrellas fijas; la mayoría de esos cuerpos fueron llamados planetas por la palabra griega "πλανήτοι" ( planētoi ) para "vagabundos". Aunque generalmente se mueven en la misma dirección a lo largo de un camino a través del cielo (la eclíptica ), los planetas individuales a veces invierten su dirección brevemente, exhibiendo un movimiento retrógrado . [5]
Para describir este movimiento hacia adelante y hacia atrás, Apolonio de Perge ( c. 262 - c. 190 a. C. ) desarrolló el concepto de deferentes y epiciclos , según el cual los planetas se transportan en círculos rotativos que a su vez son transportados en otros círculos rotativos. y así. Cualquier órbita puede describirse con un número suficiente de epiciclos elegidos con criterio, ya que este enfoque corresponde a una transformada de Fourier moderna . [6] Aproximadamente 350 años después, Claudius Ptolemaeus publicó su Almagest , en el que desarrolló este sistema para igualar las mejores observaciones astronómicas de su época. Para explicar los epiciclos, Ptolomeo adoptó la cosmología geocéntrica de Aristóteles , según la cual los planetas estaban confinados a esferas giratorias concéntricas. Este modelo del universo fue autorizado durante casi 1500 años.
La comprensión moderna del movimiento planetario surgió de los esfuerzos combinados del astrónomo Tycho Brahe y el físico Johannes Kepler en el siglo XVI. A Tycho se le atribuyen mediciones extremadamente precisas de los movimientos planetarios, de las cuales Kepler pudo derivar sus leyes del movimiento planetario . [7] Según estas leyes, los planetas se mueven en elipses (no epiciclos ) alrededor del Sol (no de la Tierra). La segunda y tercera leyes de Kepler hacen predicciones cuantitativas específicas: los planetas barren áreas iguales en el mismo tiempo, y el cuadrado de sus períodos orbitales es igual a una constante fija multiplicada por el cubo de su semieje mayor . [8] Observaciones posteriores de las órbitas planetarias mostraron que el eje largo de la elipse (la llamada línea de ábsides ) rota gradualmente con el tiempo; esta rotación se conoce como precesión absidal . Los ábsides de una órbita son los puntos en los que el cuerpo en órbita está más cerca o más lejos del centro de atracción; para los planetas que orbitan alrededor del Sol, los ábsides corresponden al perihelio (más cercano) y al afelio (más lejano). [9]
Con la publicación de sus Principia aproximadamente ochenta años después (1687), Isaac Newton proporcionó una teoría física que explicaba las tres leyes de Kepler, una teoría basada en las leyes del movimiento de Newton y su ley de gravitación universal . En particular, Newton propuso que la fuerza gravitacional entre dos cuerpos cualesquiera era una fuerza central F ( r ) que variaba como el cuadrado inverso de la distancia r entre ellos. Argumentando a partir de sus leyes del movimiento, Newton demostró que la órbita de cualquier partícula sobre la que actúa una de esas fuerzas es siempre una sección cónica , específicamente una elipse si no llega al infinito. Sin embargo, esta conclusión es válida solo cuando hay dos cuerpos presentes (el problema de los dos cuerpos ); el movimiento de tres cuerpos o más actuando bajo su gravitación mutua (el problema de los n- cuerpos ) permaneció sin resolver durante siglos después de Newton, [10] [11] aunque se descubrieron soluciones para algunos casos especiales . [12] Newton propuso que las órbitas de los planetas alrededor del Sol son en gran parte elípticas porque la gravitación del Sol es dominante; en primera aproximación , la presencia de los otros planetas puede ignorarse. Por analogía, la órbita elíptica de la Luna alrededor de la Tierra estaba dominada por la gravedad de la Tierra; En primera aproximación, la gravedad del Sol y la de otros cuerpos del Sistema Solar pueden despreciarse. Sin embargo, Newton afirmó que la precesión absidal gradual de las órbitas planetaria y lunar se debía a los efectos de estas interacciones desatendidas; en particular, afirmó que la precesión de la órbita de la Luna se debía a los efectos perturbadores de las interacciones gravitacionales con el Sol. [13]
El teorema de Newton de las órbitas giratorias fue su primer intento de comprender cuantitativamente la precesión absidal. Según este teorema, la adición de un tipo particular de fuerza central —la fuerza del cubo inverso— puede producir una órbita giratoria; la velocidad angular se multiplica por un factor k , mientras que el movimiento radial se deja sin cambios. Sin embargo, este teorema está restringido a un tipo específico de fuerza que puede no ser relevante; varias interacciones perturbadoras del cuadrado inverso (como las de otros planetas) parecen improbables que sumen exactamente una fuerza del cubo inverso. Para que su teorema sea aplicable a otros tipos de fuerzas, Newton encontró la mejor aproximación de una fuerza central arbitraria F ( r ) a un potencial de cubo inverso en el límite de órbitas casi circulares, es decir, órbitas elípticas de baja excentricidad, como es de hecho, es cierto para la mayoría de las órbitas del Sistema Solar. Para encontrar esta aproximación, Newton desarrolló una serie infinita que puede verse como la precursora de la expansión de Taylor . [14] Esta aproximación permitió a Newton estimar la tasa de precesión para fuerzas centrales arbitrarias. Newton aplicó esta aproximación para probar modelos de la fuerza que causa la precesión absidal de la órbita de la Luna. Sin embargo, el problema del movimiento de la Luna es abrumadoramente complejo, y Newton nunca publicó un modelo gravitacional preciso de la precesión absidal de la Luna. Después de un modelo más preciso de Clairaut en 1747, [15] modelos analíticos del movimiento de la Luna fueron desarrollados a finales del siglo XIX por Hill , [16] Brown, [17] y Delaunay . [18]
Sin embargo, el teorema de Newton es más general que simplemente explicar la precesión absidal. Describe los efectos de agregar una fuerza de cubo inverso a cualquier fuerza central F ( r ), no solo a fuerzas de cuadrado inverso como la ley de Newton de la gravitación universal y la ley de Coulomb . El teorema de Newton simplifica los problemas orbitales de la mecánica clásica al eliminar de consideración las fuerzas del cubo inverso. Los movimientos radiales y angulares, r ( t ) y θ 1 ( t ), se pueden calcular sin la fuerza del cubo inverso; luego, su efecto se puede calcular multiplicando la velocidad angular de la partícula
