En matemáticas , más específicamente en la teoría de anillos, se dice que un ideal de anillo izquierdo, derecho o bilateral es un ideal nulo si cada uno de sus elementos es nilpotente . [1] [2]
El nilradical de un anillo conmutativo es un ejemplo de un ideal nulo; de hecho, es el ideal del anillo máximo con respecto a la propiedad de ser nulo. Desafortunadamente, el conjunto de elementos nulos no siempre forma un ideal para anillos no conmutativos . Los ideales nulos todavía se asocian con cuestiones abiertas interesantes, especialmente la conjetura de Köthe sin resolver .
Anillos conmutativos
En los anillos conmutativos, los ideales nulos se comprenden mejor que en los anillos no conmutativos, principalmente porque en los anillos conmutativos, los productos que involucran elementos nilpotentes y las sumas de elementos nilpotentes son ambos nilpotentes. Esto es porque si una y b son elementos nilpotentes de R con un n = 0 y b m = 0, y R es cualquier elemento de R, entonces ( un · r ) n = un n · r n = 0, y por el teorema del binomio, ( a + b ) m + n = 0. Por lo tanto, el conjunto de todos los elementos nilpotentes forma un ideal conocido como el nilradical de un anillo. Debido a que el nilradical contiene todos los elementos nilpotentes, un ideal de un anillo conmutativo es nulo si y solo si es un subconjunto del nilradical, por lo que el nilradical es máximo entre nulos ideales. Además, para cualquier elemento nilpotente a de un anillo conmutativo R , el aR ideal es nulo. Sin embargo, para un anillo no conmutativo, en general no es cierto que el conjunto de elementos nilpotentes forme un ideal, o que a · R sea un ideal nulo (unilateral), incluso si a es nilpotente.
Anillos no conmutativos
La teoría de los ideales nulos es de gran importancia en la teoría de anillos no conmutativos. En particular, a través de la comprensión de los anillos nulos —anillos en los que cada elemento es nilpotente— se puede obtener una comprensión mucho mejor de los anillos más generales. [3]
En el caso de anillos conmutativos, siempre hay un ideal nulo máximo: el radical nulo del anillo. La existencia de tal ideal nulo máximo en el caso de anillos no conmutativos está garantizada por el hecho de que la suma de ideales nulos es nuevamente nula. Sin embargo, la verdad de la afirmación de que la suma de dos ideales de izquierda cero es nuevamente un ideal de izquierda cero sigue siendo difícil de alcanzar; es un problema abierto conocido como la conjetura de Köthe . [4] La conjetura de Köthe se planteó por primera vez en 1930 y, sin embargo, sigue sin resolverse a partir de 2010.
Relación con ideales nilpotentes
La noción de ideal nulo tiene una conexión profunda con la de ideal nilpotente y, en algunas clases de anillos, las dos nociones coinciden. Si un ideal es nilpotente, por supuesto es nulo. Hay dos barreras principales para que los ideales nulos sean nilpotentes:
- No es necesario que haya un límite superior en el exponente requerido para aniquilar elementos. Pueden requerirse exponentes arbitrariamente altos.
- El producto de n elementos nilpotentes puede ser distinto de cero para n arbitrariamente alto .
Claramente, estas dos barreras deben evitarse para que un ideal nulo se califique como nilpotente.
En un anillo artiniano correcto , cualquier ideal nulo es nilpotente. [5] Esto se prueba observando que cualquier ideal nulo está contenido en el radical de Jacobson del anillo, y dado que el radical de Jacobson es un ideal nilpotente (debido a la hipótesis artiniana), el resultado sigue. De hecho, esto se ha generalizado a los anillos noetherianos derechos ; el resultado se conoce como teorema de Levitzky . Una demostración particularmente simple debida a Utumi se puede encontrar en ( Herstein 1968 , Theorem 1.4.5, p. 37).
Ver también
Notas
- ^ Isaacs 1993 , p. 194
- ^ Herstein 1968 , Definición (b), p. 13
- ^ Sección 2 de Smoktunowicz 2006 , p. 260
- ^ Herstein 1968 , p. 21
- ^ Isaacs 1993 , Corolario 14.3, p. 195.
Referencias
- Herstein, IN (1968), Anillos no conmutativos (1ª ed.), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X
- Isaacs, I. Martin (1993), Álgebra, un curso de posgrado (1ª ed.), Brooks / Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
- Smoktunowicz, Agata (2006), "Algunos resultados en la teoría de anillos no conmutativos" (PDF) , Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II , Zúrich: Sociedad Matemática Europea , págs. 259–269, ISBN 978-3-03719-022-7, MR 2275597 , recuperada 2009-08-19