En matemáticas , las constantes de estructura o los coeficientes de estructura de un álgebra sobre un campo se utilizan para especificar explícitamente el producto de dos vectores básicos en el álgebra como una combinación lineal . Dadas las constantes de estructura, el producto resultante es bilineal y se puede extender de forma única a todos los vectores en el espacio vectorial, determinando así de forma única el producto del álgebra.
Las constantes de estructura se utilizan siempre que se debe dar una forma explícita para el álgebra. Por lo tanto, se utilizan con frecuencia cuando se discuten las álgebras de Lie en física , ya que los vectores base indican direcciones específicas en el espacio físico o corresponden a partículas específicas . Recuerde que las álgebras de Lie son álgebras sobre un campo, con el producto bilineal dado por el corchete de Lie o el conmutador .
Definición
Dado un conjunto de vectores base para el espacio vectorial subyacente del álgebra, las constantes de estructura o coeficientes de estructura expresar la multiplicación de pares de vectores como combinación lineal :
- .
Los índices superior e inferior con frecuencia no se distinguen, a menos que el álgebra esté dotado de alguna otra estructura que lo requiera (por ejemplo, una métrica pseudo-riemanniana , en el álgebra del grupo ortogonal indefinido, por lo que ( p , q )). Es decir, las constantes de estructura a menudo se escriben con índices todos superiores o inferiores. La distinción entre superior e inferior es entonces una convención, recordando al lector que los índices inferiores se comportan como los componentes de un vector dual , es decir, son covariantes bajo un cambio de base , mientras que los índices superiores son contravariantes .
Las constantes de estructura obviamente dependen de la base elegida. Para las álgebras de Lie, una convención de uso frecuente para la base es en términos de los operadores de escalera definidos por la subálgebra de Cartan ; esto se presenta más abajo en el artículo, después de algunos ejemplos preliminares.
Ejemplo: álgebras de Lie
Para un álgebra de Lie, los vectores básicos se denominan generadores del álgebra y el producto viene dado por el corchete de Lie . Es decir, el producto de álgebrase define como el corchete de Lie: para dos vectores y en el álgebra, el producto es En particular, el producto de álgebra no debe confundirse con un producto matricial y, por lo tanto, a veces requiere una notación alternativa.
En este caso, no es necesario distinguir los índices superior e inferior; se pueden escribir todos hacia arriba o hacia abajo. En física , es común usar la notación para los generadores, y o (ignorando la distinción superior-inferior) para las constantes de estructura. El soporte de Lie de pares de generadores es una combinación lineal de generadores del conjunto, es decir
- .
Por extensión lineal, las constantes de estructura determinan completamente los paréntesis de Lie de todos los elementos del álgebra de Lie.
Todas las álgebras de Lie satisfacen la identidad de Jacobi . Para los vectores base, se puede escribir como
y esto conduce directamente a una identidad correspondiente en términos de las constantes de estructura:
Lo anterior, y el resto de este artículo, hacen uso de la convención de suma de Einstein para índices repetidos.
Las constantes de estructura juegan un papel en las representaciones del álgebra de Lie y, de hecho, dan exactamente los elementos matriciales de la representación adjunta . La forma de Killing y el invariante de Casimir también tienen una forma particularmente simple, cuando se escriben en términos de las constantes de estructura.
Las constantes de estructura a menudo aparecen en la aproximación a la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff para el producto de dos elementos de un grupo de Lie . Para elementos pequeños del álgebra de Lie, la estructura del grupo de Lie cerca del elemento de identidad está dada por
Tenga en cuenta el factor de 1/2. También aparecen en expresiones explícitas para diferenciales, como; consulte la fórmula de Baker – Campbell – Hausdorff # Caso infinitesimal para obtener más detalles.
Ejemplos de álgebra de mentiras
y
El álgebra del grupo unitario especial SU (2) es tridimensional, con generadores dados por las matrices de Pauli . Los generadores del grupo SU (2) satisfacen las relaciones de conmutación (dondees el símbolo de Levi-Civita ):
dónde
En este caso, las constantes de estructura son . Tenga en cuenta que la constante 2i se puede absorber en la definición de los vectores base; así, definiendo, se puede escribir igualmente bien
Hacerlo enfatiza que el álgebra de Lie del grupo de Lie SU (2) es isomorfo al álgebra de Lie de SO (3) . Esto alinea las constantes de estructura con las del grupo de rotación SO (3) . Es decir, el conmutador para los operadores de momento angular se escribe comúnmente como
dónde
están escritos de manera que obedezcan la regla de la mano derecha para rotaciones en un espacio tridimensional.
La diferencia del factor de 2i entre estos dos conjuntos de constantes de estructura puede ser exasperante, ya que implica cierta sutileza. Así, por ejemplo, al espacio vectorial complejo bidimensional se le puede dar una estructura real . Esto conduce a dos representaciones fundamentales bidimensionales desiguales de, que son isomorfos, pero son representaciones conjugadas complejas ; sin embargo, ambas se consideran representaciones reales , precisamente porque actúan sobre un espacio con una estructura real . [1] En el caso de las tres dimensiones, solo hay una representación tridimensional, la representación adjunta , que es una representación real ; más precisamente, es lo mismo que su representación dual , mostrada arriba. Es decir, uno tiene que la transposición es menos ella misma:
En cualquier caso, los grupos de Lie se consideran reales, precisamente porque es posible escribir las constantes de la estructura para que sean puramente reales.
SU (3) da un ejemplo menos trivial : [2]
Sus generadores, T , en la representación definitoria, son:
dónde , las matrices de Gell-Mann , son el análogo SU (3) de las matrices de Pauli para SU (2):
Estos obedecen a las relaciones
Las constantes de estructura son totalmente antisimétricas. Están dados por:
y todos los demás no relacionados con éstos permutando índices son cero.
La d toma los valores:
Ejemplos de otras álgebras
Polinomios de pasillo
Los polinomios de Hall son las constantes de estructura del álgebra de Hall .
Álgebras de Hopf
Además del producto, el coproducto y la antípoda de un álgebra de Hopf se pueden expresar en términos de constantes de estructura. El axioma de conexión , que define una condición de coherencia en el álgebra de Hopf, puede expresarse como una relación entre estas diversas constantes de estructura.
Aplicaciones
- Un grupo de Lie es abeliano exactamente cuando todas las constantes de estructura son 0.
- Un grupo de Lie es real exactamente cuando sus constantes de estructura son reales.
- Las constantes de estructura son completamente antisimétricas en todos los índices si y solo si el álgebra de Lie es una suma directa de álgebras de Lie compactas simples .
- Un grupo de Lie nilpotente admite una red si y solo si su álgebra de Lie admite una base con constantes de estructura racional: este es el criterio de Malcev . No todos los grupos de Lie nilpotentes admiten celosías; para obtener más detalles, consulte también Raghunathan. [3]
- En cromodinámica cuántica , el símbolorepresenta el tensor de intensidad de campo de gluones covariante de calibre , análogo al tensor de intensidad de campo electromagnético , F μν , en electrodinámica cuántica . Está dado por: [4]
- donde f abc son las constantes de estructura de SU (3). Tenga en cuenta que las reglas para empujar-up o pull-down los unos , b , o c índices son trivial , (+, + ...), de manera que f abc = f abc = fa
bcmientras que para los índices μ o ν uno tiene las reglas relativistas no triviales , correspondientes, por ejemplo, a la firma métrica (+ - - -).
Elegir una base para un álgebra de mentira
Un enfoque convencional para proporcionar una base para un álgebra de Lie es mediante los llamados "operadores de escalera" que aparecen como vectores propios de la subálgebra de Cartan . La construcción de esta base, utilizando notación convencional, se bosqueja rápidamente aquí. Una construcción alternativa (la construcción de Serre ) se puede encontrar en el artículo álgebra de Lie semisimple .
Dado un álgebra de mentira , la subálgebra de Cartan es la subálgebra abeliana máxima. Por definición, consta de aquellos elementos que se conmutan entre sí. Se puede elegir libremente una base ortonormal en; escribe esta base como con
dónde es el producto interno en el espacio vectorial. La dimensiónde esta subálgebra se llama rango del álgebra. En la representación adjunta , las matricesse desplazan mutuamente y se pueden diagonalizar simultáneamente. Las matricestener autovectores (simultáneos) ; aquellos con un valor propio distinto de cero se denotan convencionalmente por . Junto con el estos abarcan todo el espacio vectorial . Las relaciones de conmutación son entonces
Los vectores propios se determinan solo hasta la escala general; una normalización convencional es establecer
Esto permite que las relaciones de conmutación restantes se escriban como
y
con este último sujeto a la condición de que las raíces (definidas a continuación) suma a un valor distinto de cero: . Laa veces se les llama operadores de escalera , ya que tienen esta propiedad de aumentar / disminuir el valor de.
Para una dada , hay tantos como los hay y entonces uno puede definir el vector , este vector se denomina raíz del álgebra. Las raíces de las álgebras de Lie aparecen en estructuras regulares (por ejemplo, en las álgebras de Lie simples , las raíces solo pueden tener dos longitudes diferentes); consulte el sistema raíz para obtener más detalles.
Las constantes de estructura tienen la propiedad de que son distintos de cero solo cuando son una raíz. Además, son antisimétricos:
y siempre se puede elegir de tal manera que
También obedecen las condiciones del ciclo: [5]
cuando sea , y tambien que
cuando sea .
Referencias
- ^ Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer plato . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. 129 . Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Señor 1153249 . OCLC 246650103 .
- ^ Weinberg, Steven (1995). La teoría cuántica de los campos . 1 Fundaciones. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-55001-7.
- ^ Raghunathan, Madabusi S. (2012) [1972]. "2. Celosías en grupos de mentiras nilpotentes". Subgrupos discretos de grupos de mentiras . Saltador. ISBN 978-3-642-86428-5.
- ^ Eidemüller, M .; Dosch, HG; Jamin, M. (2000) [1999]. "El correlador de intensidad de campo de las reglas de suma QCD". Nucl. Phys. B Proc. Supl . 86 : 421–5. arXiv : hep-ph / 9908318 . Código Bibliográfico : 2000NuPhS..86..421E . doi : 10.1016 / S0920-5632 (00) 00598-3 .
- ^ Cornwell, JF (1984). Teoría de grupos en física . 2 Grupos de mentiras y sus aplicaciones. Prensa académica. ISBN 0121898040. OCLC 969857292 .