Nimber
En matemáticas , los nimbers , también llamados números de Grundy , se introducen en la teoría de juegos combinatorios , donde se definen como los valores de montones en el juego Nim . Los nimbers son los números ordinales dotados de suma y multiplicación de nimbers , que son distintos de la suma y la multiplicación de ordinales .
Debido al teorema de Sprague-Grundy que establece que todo juego imparcial es equivalente a un montón de Nim de cierto tamaño, los nimbers surgen en una clase mucho más grande de juegos imparciales. También pueden ocurrir en juegos partidistas como Domineering .
Los nimbers tienen la característica de que sus opciones Left y Right son idénticas, siguiendo un cierto esquema, y que son sus propios negativos, de modo que un ordinal positivo se puede sumar a otro ordinal positivo usando la suma de nimbers para encontrar un ordinal de menor valor. [1] La operación mínima excluyente se aplica a conjuntos de nimbers.
Nim es un juego en el que dos jugadores se turnan para retirar objetos de distintos montones. Como los movimientos dependen solo de la posición y no de cuál de los dos jugadores se está moviendo actualmente, y donde los pagos son simétricos, Nim es un juego imparcial. En cada turno, un jugador debe eliminar al menos un objeto y puede eliminar cualquier cantidad de objetos, siempre que todos provengan del mismo montón. El objetivo del juego es ser el jugador que retira el último objeto. Usando la suma de nimber, cada montón se puede sumar para dar un valor de nim para el montón. Además, como todos los montones juntos se pueden sumar mediante la suma de nim, se puede calcular el nimber del juego como un todo. La estrategia ganadora de este juego es forzar el número acumulativo del juego a 0 para el turno de los oponentes. [2]
Cram es un juego que a menudo se juega en un tablero rectangular en el que los jugadores se turnan para colocar fichas de dominó, ya sea horizontal o verticalmente, hasta que no se puedan colocar más fichas de dominó. El primer jugador que no puede hacer un movimiento pierde. Como los movimientos posibles para ambos jugadores son los mismos, es un juego imparcial y puede tener un valor más ágil. Si cada fila y columna se considera un montón, entonces el valor del juego es la suma de todas las filas y columnas utilizando la suma de números. Por ejemplo, cualquier tablero de 2xn tendrá un número de 0 para todos los n pares y un número de 1 para todos los n impares.
Un juego en el que se colocan clavijas para cada jugador a lo largo de una columna con un número finito de espacios. Cada turno, cada jugador debe mover la pieza hacia arriba o hacia abajo en la columna, pero no puede pasar la pieza del otro jugador. Varias columnas se apilan juntas para agregar complejidad. El jugador que ya no puede hacer ningún movimiento pierde. A diferencia de muchos otros juegos relacionados con nimber, el número de espacios entre las dos fichas en cada fila es el tamaño de los montones de Nim. Si tu oponente aumenta el número de espacios entre dos fichas, simplemente disminúyelo en tu próximo movimiento. De lo contrario, juegue el juego de Nim y haga que la suma de Nim del número de espacios entre las fichas en cada fila sea 0. [3]
Los elementos distintos de cero forman la tabla de Cayley de Z 15 . Las matrices pequeñas son matrices de Walsh
binarias permutadas .
Calcular los nim-productos de potencias de dos es un punto decisivo en el algoritmo recursivo de nimber-multiplicación.