Teorema de no eliminación

Teorema fundamental del procesamiento de información cuántica

En física , el teorema de no borrado de la teoría de la información cuántica es un teorema de no paso que establece que, en general, dadas dos copias de algún estado cuántico arbitrario, es imposible borrar una de las copias. ^[1] Es un dual invertido en el tiempo del teorema de no clonación , ^{[2] [3]} que establece que los estados arbitrarios no se pueden copiar. Este teorema parece notable porque, en muchos sentidos, los estados cuánticos son frágiles; el teorema afirma que, en un caso particular, también son robustos. El físico Arun K. Pati junto con Samuel L. Braunstein demostraron este teorema.

El teorema de no eliminación, junto con el teorema de no clonación, sustentan la interpretación de la mecánica cuántica en términos de teoría de categorías y, en particular, como una categoría monoidal simétrica de daga . ^{[4] [5]} Esta formulación, conocida como mecánica cuántica categórica , a su vez permite establecer una conexión entre la mecánica cuántica y la lógica lineal como la lógica de la teoría de la información cuántica (en analogía exacta con la lógica clásica que se basa en categorías cerradas cartesianas ) .

Descripción general de la deleción cuántica

Suponga que hay dos copias de un estado cuántico desconocido. Una pregunta pertinente en este contexto es preguntarse si es posible, dadas dos copias idénticas, eliminar una de ellas utilizando operaciones de mecánica cuántica. Resulta que no se puede. El teorema de no eliminación es una consecuencia de la linealidad de la mecánica cuántica . Al igual que el teorema de no clonación, esto tiene importantes implicaciones en la computación cuántica , la teoría de la información cuántica y la mecánica cuántica en general.

El proceso de eliminación cuántica toma dos copias de un estado cuántico desconocido arbitrario en el puerto de entrada y genera un estado en blanco junto con el original. Matemáticamente, esto se puede describir mediante:

${\displaystyle U|\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}}$

donde es la operación de eliminación que no es necesariamente unitaria (sino un operador lineal), es el estado cuántico desconocido, es el estado en blanco, es el estado inicial de la máquina de eliminación y es el estado final de la máquina.${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle _{A}}$${\displaystyle |0\rangle _{B}}$${\displaystyle |A\rangle _{C}}$${\displaystyle |A'\rangle _{C}}$

Cabe señalar que los bits clásicos se pueden copiar y eliminar, al igual que los qubits en estados ortogonales. Por ejemplo, si tenemos dos qubits idénticos y luego podemos transformarnos en y . En este caso, hemos eliminado la segunda copia. Sin embargo, de la linealidad de la teoría cuántica se deduce que no hay nadie que pueda realizar la operación de eliminación para cualquier estado arbitrario .${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$${\displaystyle U}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

Declaración formal del teorema de no eliminación

Sea un estado cuántico desconocido en algún espacio de Hilbert (y deje que otros estados tengan su significado habitual). Entonces, no existe una transformación isométrica lineal tal que , siendo el estado final de la ancilla independiente de .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

Prueba

El teorema es válido para los estados cuánticos en un espacio de Hilbert de cualquier dimensión. Para simplificar, considere la transformación de eliminación para dos qubits idénticos. Si dos qubits están en estados ortogonales, entonces la eliminación requiere que

${\displaystyle |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}}$,

${\displaystyle |1\rangle _{A}|1\rangle _{B}|A\rangle _{C}\rightarrow |1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}}$.

Sea el estado de un qubit desconocido. Si tenemos dos copias de un qubit desconocido, entonces por linealidad de la transformación de eliminación tenemos ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|\psi \rangle _{B}|A\rangle _{C}=[\alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|1\rangle _{B}+\alpha \beta (|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})]|A\rangle _{C}}$

${\displaystyle \qquad \rightarrow \alpha ^{2}|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}+\beta ^{2}|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+{\sqrt {2}}\alpha \beta |\Phi \rangle _{ABC}.}$

En la expresión anterior, se ha utilizado la siguiente transformación:

${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A\rangle _{C}\rightarrow |\Phi \rangle _{ABC}.}$

Sin embargo, si podemos eliminar una copia, entonces, en el puerto de salida de la máquina de eliminación, el estado combinado debería ser

${\displaystyle |\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B}|A'\rangle _{C}=(\alpha |0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+\beta |1\rangle _{A}|0\rangle _{B})|A'\rangle _{C}}$.

En general, estos estados no son idénticos y, por lo tanto, podemos decir que la máquina no puede eliminar una copia. Si requerimos que los estados de salida finales sean los mismos, entonces veremos que solo hay una opción:

${\displaystyle |\Phi \rangle =1/{\sqrt {2}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{1}\rangle _{C}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}|A_{0}\rangle _{C}),}$

y

${\displaystyle |A'\rangle _{C}=\alpha |A_{0}\rangle _{C}+\beta |A_{1}\rangle _{C}.}$

Dado que el estado final de la ancilla está normalizado para todos los valores , debe ser cierto que y son ortogonales. Esto significa que la información cuántica está simplemente en el estado final de la ancilla. Siempre se puede obtener el estado desconocido a partir del estado final de la ancilla utilizando la operación local en el espacio de Hilbert de la ancilla. Por tanto, la linealidad de la teoría cuántica no permite eliminar perfectamente un estado cuántico desconocido.${\displaystyle |A'\rangle }$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle |A_{0}\rangle _{C}}$${\displaystyle |A_{1}\rangle _{C}}$

Consecuencia

• Si fuera posible eliminar un estado cuántico desconocido, entonces, usando dos pares de estados EPR , podríamos enviar señales más rápido que la luz. Por tanto, la violación del teorema de no eliminación es incompatible con la condición de no señalización .
• Los teoremas de no clonación y no eliminación apuntan a la conservación de la información cuántica.
• Una versión más sólida del teorema de no clonación y el teorema de no eliminación proporcionan permanencia a la información cuántica. Para crear una copia, uno debe importar la información de alguna parte del universo y para eliminar un estado, es necesario exportarlo a otra parte del universo donde seguirá existiendo.

Ver también

• Teorema de no transmisión
• Teorema de no clonación
• Teorema de no comunicación
• Teorema de no ocultarse ^[6]
• Clonación cuántica
• Entrelazamiento cuántico
• Información cuántica
• Teletransportación cuántica
• Principio de incertidumbre

Referencias

1. AK Pati y SL Braunstein, "Imposibilidad de eliminar un estado cuántico desconocido", Nature 404 (2000), p164.
2. WK Wootters y WH Zurek, "Un solo cuanto no se puede clonar", Nature 299 (1982), p802.
3. D. Dieks, "Comunicación por dispositivos EPR", Física Letras A , vol. 92 (6) (1982), pág. 271.
4. John Baez, Física, topología, lógica y computación: una piedra de Rosetta (2009)
5. Bob Coecke, Picturalismo cuántico , (2009) ArXiv 0908.1787
6. Teorema cuántico de no ocultación confirmado experimentalmente por primera vez. Mar 07, 2011 por Lisa Zyga