Mecánica cuántica categórica

Mecánica cuántica planteada en términos de teoría de categorías

La mecánica cuántica categórica es el estudio de los fundamentos cuánticos y la información cuántica utilizando paradigmas de las matemáticas y la informática , en particular la teoría de categorías monoidales . Los objetos primitivos de estudio son los procesos físicos y las diferentes formas en que estos pueden componerse. Fue pionero en 2004 por Samson Abramsky y Bob Coecke .

Configuración matemática

Matemáticamente, la configuración básica es capturada por una categoría monoidal simétrica de daga : la composición de los morfismos modela la composición secuencial de los procesos, y el producto tensorial describe la composición paralela de los procesos. El papel de la daga es asignar a cada estado una prueba correspondiente. Luego, estos se pueden adornar con más estructura para estudiar varios aspectos. Por ejemplo:

• Una categoría compacta daga permite distinguir entre una "entrada" y una "salida" de un proceso. En el cálculo esquemático , permite que los cables se doblen, lo que permite una transferencia de información menos restringida. En particular, permite estados y mediciones entrelazados y proporciona descripciones elegantes de protocolos como la teletransportación cuántica . ^[1] En teoría cuántica, ser compacto y cerrado está relacionado con el isomorfismo Choi-Jamiołkowski (también conocido como dualidad proceso-estado ), mientras que la estructura de la daga captura la capacidad de tomar adjuntos de mapas lineales.
• Teniendo en cuenta solo los morfismos que son mapas completamente positivos , también se pueden manejar estados mixtos , lo que permite el estudio de canales cuánticos de manera categórica. ^[2]
• Los cables siempre tienen dos extremos (y nunca se pueden dividir en una Y), lo que refleja los teoremas de no clonación y no eliminación de la mecánica cuántica.
• Las álgebras de Frobenius de la daga conmutativa especial modelan el hecho de que ciertos procesos producen información clásica, que puede ser clonada o borrada, capturando así la comunicación clásica . ^[3]
• En los primeros trabajos, se utilizaron biproductos de daga para estudiar tanto la comunicación clásica como el principio de superposición . Posteriormente, estas dos características se han separado. ^[4]
• Las álgebras de Frobenius complementarias incorporan el principio de complementariedad , que se utiliza con gran efecto en el cálculo cuántico, como en el cálculo ZX . ^[5]

Una parte sustancial de la columna vertebral matemática de este enfoque se extrae de la teoría de categorías australiana , sobre todo del trabajo de Max Kelly y ML Laplaza, ^[6] Andre Joyal y Ross Street , ^[7] A. Carboni y RFC Walters, ^[8] y Steve Lack. ^[9] Los libros de texto modernos incluyen Categorías para la teoría cuántica ^[10] y Representación de procesos cuánticos . ^[11]

Cálculo esquemático

Una de las características más notables de la mecánica cuántica categórica es que la estructura compositiva se puede capturar fielmente mediante un cálculo puramente diagramático. ^[12]

Una ilustración del cálculo diagramático: el protocolo de teletransportación cuántica modelado en la mecánica cuántica categórica.

Estos lenguajes de diagramación se remontan a la notación gráfica de Penrose , desarrollada a principios de la década de 1970. ^{[13] El} razonamiento diagramático se ha utilizado antes en la ciencia de la información cuántica en el modelo de circuito cuántico , sin embargo, en la mecánica cuántica categórica, las puertas primitivas como la puerta CNOT surgen como compuestos de álgebras más básicas, lo que da como resultado un cálculo mucho más compacto. ^[14] En particular, el cálculo ZX ha surgido de la mecánica cuántica categórica como una contraparte esquemática del razonamiento algebraico lineal convencional sobre las puertas cuánticas . El cálculo ZX consiste en un conjunto de generadores que representan el comúnLas puertas cuánticas de Pauli y la puerta Hadamard están equipadas con un conjunto de reglas de reescritura gráfica que gobiernan su interacción. Aunque aún no se ha establecido un conjunto estándar de reglas de reescritura, se ha demostrado que algunas versiones están completas , lo que significa que cualquier ecuación que se mantenga entre dos circuitos cuánticos representados como diagramas se puede probar utilizando las reglas de reescritura. ^[15] El cálculo ZX se ha utilizado para estudiar, por ejemplo , la computación cuántica basada en mediciones .

Ramas de actividad

Axiomatización y nuevos modelos

Uno de los principales éxitos del programa de investigación de la mecánica cuántica categórica es que a partir de restricciones abstractas aparentemente débiles en la estructura compositiva, resultó posible derivar muchos fenómenos de la mecánica cuántica. En contraste con los enfoques axiomáticos anteriores, que tenían como objetivo reconstruir la teoría cuántica espacial de Hilbert a partir de supuestos razonables, esta actitud de no apuntar a una axiomatización completa puede conducir a nuevos modelos interesantes que describen fenómenos cuánticos, que podrían ser útiles al elaborar teorías futuras. ^[dieciséis]

Resultados de integridad y representación

Hay varios teoremas que relacionan la configuración abstracta de la mecánica cuántica categórica con la configuración tradicional de la mecánica cuántica.

• Completitud del cálculo diagramático: una igualdad de morfismos puede demostrarse en la categoría de espacios de Hilbert de dimensión finita si y solo si puede demostrarse en el lenguaje gráfico de categorías cerradas compactas de daga. ^[17]
• Las álgebras conmutativas de Frobenius tipo daga en la categoría de espacios de Hilbert de dimensión finita corresponden a bases ortogonales . ^[18] Una versión de esta correspondencia también se mantiene en una dimensión arbitraria. ^[19]
• Ciertos axiomas adicionales garantizan que los escalares se incrustan en el campo de los números complejos , a saber, la existencia de biproductos de daga finitos y ecualizadores de daga, bien puntiagudos y una restricción de cardinalidad en los escalares. ^[20]
• Ciertos axiomas adicionales además de lo anterior garantizan que una categoría monoidal simétrica de daga se incrusta en la categoría de espacios de Hilbert, es decir, si cada mónica de daga es un núcleo de daga. En ese caso, los escalares forman un campo involutivo en lugar de simplemente incrustarse en uno. Si la categoría es compacta, la incrustación aterriza en espacios de Hilbert de dimensión finita. ^[21]
• Las álgebras de Frobenius conmutativas especiales de la daga en la categoría de conjuntos y relaciones corresponden a grupos abelianos discretos . ^[22]
• Encontrar estructuras de base complementarias en la categoría de conjuntos y relaciones corresponde a resolver problemas combinatorios que involucran cuadrados latinos . ^[23]
• Daga álgebras de Frobenius conmutativa en qubits tienen que ser especial o antispecial, en relación con el hecho de que como máximo enredados estados tripartitas son SLOCC -equivalente a cualquiera de los GHZ o el estado de W . ^[24]

La mecánica cuántica categórica como lógica

La mecánica cuántica categórica también puede verse como una forma teórica de tipo de lógica cuántica que, en contraste con la lógica cuántica tradicional , apoya el razonamiento deductivo formal. ^[25] Existe software que apoya y automatiza este razonamiento.

Existe otra conexión entre la mecánica cuántica categórica y la lógica cuántica, ya que los subobjetos en las categorías del núcleo de la daga y las categorías de biproductos complementados con la daga forman rejillas ortomodulares . ^{[26] [27]} De hecho, la primera configuración permite cuantificadores lógicos , cuya existencia nunca se abordó satisfactoriamente en la lógica cuántica tradicional.

La mecánica cuántica categórica como fundamento de la mecánica cuántica

La mecánica cuántica categórica permite una descripción de teorías más generales que la teoría cuántica. Esto le permite a uno estudiar qué características destacan la teoría cuántica en contraste con otras teorías no físicas, lo que con suerte proporciona una idea de la naturaleza de la teoría cuántica. Por ejemplo, el marco permite una descripción sucinta de la composición de la teoría del juguete de Spekkens que permite identificar qué ingrediente estructural hace que sea diferente de la teoría cuántica. ^[28]

Mecánica cuántica categórica como semántica distributiva composicional categórica

Ha habido intentos de construir gramáticas usando mecánica cuántica categórica: un proceso cuántico puede percibirse como una oración donde la función principal actúa como el verbo y toma al sujeto como entrada y al objeto como salida. ^[29] Un problema abierto principal con la semántica distributiva composicional categórica es la representación de palabras que no tienen significado propio desde una perspectiva distributiva, como determinantes, preposiciones, pronombres relativos, coordinadores, etc. ^[30]

Ver también

• Cálculo ZX
• Teoría de categorías aplicada
• Fundaciones cuánticas

Referencias

1. Samson Abramsky y Bob Coecke , Una semántica categórica de protocolos cuánticos , Actas de la 19ª conferencia IEEE sobre lógica en informática (LiCS'04). IEEE Computer Science Press (2004).
2. P. Selinger, categorías cerradas compactas de Dagger y mapas completamente positivos , Actas del tercer taller internacional sobre lenguajes de programación cuántica, Chicago, 30 de junio-1 de julio (2005).
3. B. Coecke y D. Pavlovic, Medidas cuánticas sin sumas . En: Mathematics of Quantum Computing and Technology, páginas 567–604, Taylor y Francis (2007).
4. B. Coecke y S. Perdrix, Medio ambiente y canales clásicos en mecánica cuántica categórica En: Actas de la 19ª Conferencia Anual de la EACSL sobre lógica informática (CSL), Lecture Notes in Computer Science 6247, Springer-Verlag.
5. B. Coecke y R. Duncan, Interacción de observables cuánticos en: Actas del 35º Coloquio Internacional sobre Autómatas, Lenguajes y Programación (ICALP), págs. 298-310, Lecture Notes in Computer Science 5126, Springer.
6. GM Kelly y ML Laplaza, Coherencia para categorías cerradas compactas, Journal of Pure and Applied Algebra 19, 193-213 (1980).
7. A. Joyal y R. Street, La geometría del cálculo de tensores I, Avances en matemáticas 88, 55-112 (1991).
8. A. Carboni y RFC Walters, bicategorías cartesianas I, Journal of Pure and Applied Algebra 49, 11-32 (1987).
9. S. Falta, Composición de PROP, teoría y aplicaciones de las categorías 13, 147-163 (2004).
10. C.Heunen y J. Vicary, Categorías de la teoría cuántica , Oxford University Press (2019)
11. B. Coecke y A. Kissinger, Representando procesos cuánticos , Cambridge University Press (2017)
12. B. Coecke, picturalismo cuántico , física contemporánea 51, 59–83 (2010).
13. R. Penrose, Aplicaciones de tensores dimensionales negativos, En: Matemáticas combinatorias y sus aplicaciones, D. ~ Welsh (Ed), páginas 221–244. Prensa académica (1971).
14. Backens, Miriam (2014). "El cálculo ZX está completo para la mecánica cuántica de estabilizadores" . Nueva Revista de Física . 16 (9): 093021. arXiv : 1307.7025 . Código Bibliográfico : 2014NJPh ... 16i3021B . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 16/9/093021 . ISSN  1367-2630 .
15. Jeandel, Emmanuel; Perdrix, Simon; Vilmart, Renaud (31 de mayo de 2017). "Una completa axiomatización del cálculo ZX para la mecánica cuántica de Clifford + T". arXiv : 1705,11151 [ quant-ph ].
16. JC Baez, Dilemas cuánticos: una perspectiva teórica de categorías . En: Los fundamentos estructurales de la gravedad cuántica, D. Rickles, S. French y JT Saatsi (Eds), páginas 240–266. Prensa de la Universidad de Oxford (2004).
17. P. Selinger, Los espacios de Hilbert de dimensión finita están completos para categorías cerradas compactas . Notas electrónicas en informática teórica, a publicarse (2010).
18. B. Coecke, D. Pavlovic y J. Vicary, Una nueva descripción de bases ortogonales . Estructuras matemáticas en informática, por aparecer (2008).
19. S. Abramsky y C. Heunen H * -álgebras y álgebras de Frobenius no unitarias: primeros pasos en mecánica cuántica categórica infinita-dimensional , Clifford Lectures, AMS Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, por aparecer (2010).
20. J. Vicary, Completitud de categorías de dagas y números complejos , Journal of Mathematical Physics, que aparecerá (2008).
21. C. Heunen, Un teorema de incrustación para categorías de Hilbert . Teoría y aplicaciones de las categorías 22, 321–344. (2008)
22. D. Pavlovic, Estructuras clásicas y cuánticas en computación no determinística , Lecture Notes in Computer Science 5494, página 143-157, Springer (2009).
23. J. Evans, R. Duncan, A. Lang y P. Panangaden, Clasificación de todas las bases mutuamente insesgadas en Rel (2009).
24. B. Coecke y A. Kissinger La estructura compositiva del entrelazamiento cuántico multipartito , Actas del 37º Coloquio Internacional sobre Autómatas, Lenguajes y Programación (ICALP), páginas 297-308, Lecture Notes in Computer Science 6199, Springer (2010).
25. R. Duncan (2006) Tipos de computación cuántica , DPhil. tesis. Universidad de Oxford.
26. C. Heunen y B. Jacobs, Lógica cuántica en categorías de kernel dagger . Orden 27, 177–212 (2009).
27. J. Harding, Un vínculo entre la lógica cuántica y la mecánica cuántica categórica , Revista internacional de física teórica 48, 769–802 (2009).
28. B. Coecke, B. Edwards y RW Spekkens, Grupos de fase y el origen de la no localidad para qubits , Notas electrónicas en Ciencias de la Computación Teórica, que aparecerán (2010).
29. Dimitri Kartsaklis, Mehrnoosh Sadrzadeh y Stephen Pulman, " Un espacio de oración unificado para semántica de distribución-composición categórica: teoría y experimentos " ACL Anthology, 2012.
30. Juliette Buet,Tesis de maestría" W arañas ", 2017.