En matemáticas, un plano no desarguesiano es un plano proyectivo que no satisface el teorema de Desargues (llamado así por Girard Desargues ), o en otras palabras, un plano que no es un plano desarguesiano . El teorema de Desargues es cierto en todos los espacios proyectivos de dimensión no 2; [1] en otras palabras, los únicos espacios proyectivos de dimensión no igual a 2 son las geometrías proyectivas clásicas sobre un campo (o anillo de división ). Sin embargo, David Hilbert descubrió que algunos planos proyectivos no lo satisfacen. [2] [3]El estado actual de conocimiento de estos ejemplos no está completo. [4]
Hay muchos ejemplos de planos no desarguesianos tanto finitos como infinitos. Algunos de los ejemplos conocidos de infinitos planos no desarguesianos incluyen:
Con respecto a los planos finitos no desarguesianos, cada plano proyectivo de orden como máximo 8 es desarguesiano, pero hay tres ejemplos no desarguesianos de orden 9, cada uno con 91 puntos y 91 líneas. [5] Ellos son:
Se conocen muchas otras construcciones de planos no desarguesianos, tanto finitos como infinitos, véase, por ejemplo, Dembowski (1968) . Todas las construcciones conocidas de planos finitos no desarguesianos producen planos cuyo orden es una potencia prima propia, es decir, un número entero de la forma p e , donde p es un primo ye es un número entero mayor que 1.
Hanfried Lenz dio un esquema de clasificación para planos proyectivos en 1954 [6] y esto fue refinado por Adriano Barlotti en 1957. [7] Este esquema de clasificación se basa en los tipos de transitividad punto-línea permitidos por el grupo de colineación del plano y es conocida como la clasificación de Lenz-Barlotti de planos proyectivos . La lista de 53 tipos se da en Dembowski (1968, pp.124-5) y una tabla de los resultados de existencia conocidos en ese momento (para los grupos de colineación y los planos que tienen tal grupo de colineación) en los casos finito e infinito aparece en la página 126. A partir de 2007, "36 de ellos existen como grupos finitos. Entre 7 y 12 existen como planos proyectivos finitos, y 14 o 15 existen como planos proyectivos infinitos ". [4]
Existen otros esquemas de clasificación. Uno de los más simples se basa en el tipo de anillo ternario planar (PTR) que se puede utilizar para coordinar el plano proyectivo. Los tipos son campos , skewfields , anillos de división alternativos , semifields , nearfields , right nearfields , cuasifields y cuasifields derechos . [8]