En matemáticas , una estructura algebraica que consta de un conjunto no vacío y un mapeo ternario puede llamarse un sistema ternario . Un anillo ternario plano (PTR) o campo ternario es un tipo especial de sistema ternario utilizado por Hall (1943) para construir planos proyectivos mediante coordenadas. Un anillo ternario plano no es un anillo en el sentido tradicional, pero cualquier campo da un anillo ternario plano donde la operación es definido por . Por lo tanto, podemos pensar en un anillo ternario plano como una generalización de un campo donde la operación ternaria reemplaza tanto a la suma como a la multiplicación. En efecto, en la arquitectura de la computadora, esta operación ternaria se conoce, por ejemplo, como la operación de multiplicar-acumular (MAC).
Existe una amplia variación en la terminología. Los anillos ternarios planos o campos ternarios como se definen aquí han sido llamados con otros nombres en la literatura, y el término "anillo ternario plano" puede significar una variante del sistema definido aquí. El término "anillo ternario" a menudo significa un anillo ternario plano, pero también puede significar simplemente un sistema ternario.
Definición
Un anillo ternario plano es una estructura dónde es un conjunto que contiene al menos dos elementos distintos, llamados 0 y 1, y es un mapeo que satisface estos cinco axiomas:
- ;
- ;
- , hay un único tal que: ;
- , hay un único , tal que ; y
- , las ecuaciones tener una solución única .
Cuándo es finito, el tercer y quinto axiomas son equivalentes en presencia del cuarto. [1]
Ningún otro par (0 ', 1') en se puede encontrar de tal manera que todavía satisface los dos primeros axiomas.
Operaciones binarias
Adición
Definir . [2] La estructuraes un bucle con elemento de identidad 0.
Multiplicación
Definir . El conjuntoestá cerrado bajo esta multiplicación. La estructura también es un bucle, con el elemento de identidad 1.
PTR lineal
Un anillo ternario planar se dice que es lineal si. Por ejemplo, el anillo ternario plano asociado a un cuasi-campo es (por construcción) lineal. [ cita requerida ]
Conexión con planos proyectivos
Dado un anillo ternario planar , se puede construir un plano proyectivo con el conjunto de puntos P y el conjunto de líneas L de la siguiente manera: [3] [4] (Nótese que es un símbolo extra que no está en .)
Dejar
- , y
- .
Entonces defina, , la relación de incidencia De este modo:
Cada plano proyectivo se puede construir de esta manera, comenzando con un anillo ternario plano apropiado. Sin embargo, dos anillos ternarios planos no isomorfos pueden conducir a la construcción de planos proyectivos isomorfos.
Por el contrario, dado cualquier plano proyectivo π, al elegir cuatro puntos, etiquetados como o , e , u y v , de los cuales no hay tres en la misma línea, se pueden introducir coordenadas en π para que estos puntos especiales reciban las coordenadas: o = (0,0), e = (1,1), v = () yu = (0). [5] La operación ternaria ahora se define en los símbolos de coordenadas (excepto) por y = T ( x , a , b ) si y solo si el punto ( x , y ) se encuentra en la línea que une ( a ) con (0, b ). Los axiomas que definen un plano proyectivo se utilizan para mostrar que esto da un anillo ternario plano.
La linealidad del PTR es equivalente a una condición geométrica que se mantiene en el plano proyectivo asociado. [6]
Estructuras algebraicas relacionadas
Los PTR que satisfacen condiciones algebraicas adicionales reciben otros nombres. Estos nombres no se aplican de manera uniforme en la literatura. La siguiente lista de nombres y propiedades está tomada de Dembowski (1968 , p. 129).
Un PTR lineal cuyo bucle aditivo es asociativo (y, por lo tanto, un grupo ), se denomina grupo cartesiano . En un grupo cartesiano, las asignaciones
, y
deben ser permutaciones siempre que . Dado que los grupos cartesianos son grupos bajo suma, volvemos a usar un simple "+" para la operación aditiva.
Un cuasifcampo es un grupo cartesiano que satisface la ley distributiva correcta:. La suma en cualquier cuasifcampo es conmutativa .
Un semicampo es un cuasifcampo que también satisface la ley distributiva izquierda:
Un campo cercano plano es un cuasifcampo cuyo bucle multiplicativo es asociativo (y, por tanto, un grupo). No todos los campos cercanos son campos cercanos planos.
Notas
- ^ Hughes y Piper 1973 , p. 118, Teorema 5.4
- ^ En la literatura hay dos versiones de esta definición. Esta es la forma utilizada por Hall (1959 , p. 355) , Albert y Sandler (1968 , p. 50) y Dembowski (1968 , p. 128), mientrases utilizado por Hughes y Piper (1973 , p. 117), Pickert (1975 , p. 38) y Stevenson (1972 , p. 274). La diferencia proviene de las formas alternativas en que estos autores coordinan el plano.
- ^ RH Bruck, Avances recientes en los fundamentos de la geometría plana euclidiana , The American Mathematical Monthly, vol. 66, págs. 2-17 (1955) Apéndice I.
- ↑ Hall 1943 , p.247 Teorema 5.4
- ^ Esto se puede hacer de varias formas. Una breve descripción del método utilizado por Hall (1943) se puede encontrar en Dembowski (1968 , p. 127).
- ^ Dembowski 1968 , p. 129
Referencias
- Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968). Una introducción a los planos proyectivos finitos . Nueva York: Holt, Rinehart y Winston.
- Artzy, Rafael (2008) [1965], "Capítulo 4 Geometría plana axiomática", Geometría lineal , Dover, ISBN 978-0-486-46627-9
- Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998), "Groupoids asociados con el anillo ternario de un plano proyectivo", Journal of Geometry , 61 (1–2): 17–31, doi : 10.1007 / bf01237490 , S2CID 123135402
- Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
- Grari, A. (2004), "Una condición necesaria y suficiente para que dos anillos ternarios planos induzcan planos proyectivos isomorfos", Arch. Matemáticas. (Basilea) , 83 (2): 183–192, doi : 10.1007 / s00013-003-4580-9 , S2CID 122203312
- Hall, Jr., Marshall (1943), "Planos proyectivos", Transactions of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 54 (2): 229-277, doi : 10.2307 / 1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
- Hall, Jr., Marshall (1959), La teoría de los grupos , Nueva York: The MacMillan Company, MR 0103215
- Hughes, DR (1955), "Bucles aditivos y multiplicativos de anillos ternarios planos", Proceedings of the American Mathematical Society , 6 (6): 973–980, doi : 10.1090 / s0002-9939-1955-0073568-8 , MR 0073568
- Hughes, Daniel R .; Piper, Fred C. (1973), Planos proyectivos , Textos de posgrado en matemáticas (6), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0387900446, MR 0333959
- Martin, GE (1967), "Planos proyectivos y anillos ternarios isotópicos", The American Mathematical Monthly , 74 (10): 1185-1195, doi : 10.2307 / 2315659 , hdl : 10338.dmlcz / 101204 , JSTOR 2315659 , MR 0223972
- Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
- Stevenson, Frederick (1972), Projective Planes , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 071670443-9