En matemáticas , un cuasifcampo es una estructura algebraica donde + y son operaciones binarias en Q, muy parecidas a un anillo de división , pero con algunas condiciones más débiles. Todos los anillos de división y, por lo tanto, todos los campos , son cuasifcampos.
Definición
Un cuasifield es una estructura, donde + y son operaciones binarias en Q, satisfaciendo estos axiomas:
- es un grupo
- es un bucle , donde
- ( distributividad izquierda )
- tiene exactamente una solución
Estrictamente hablando, esta es la definición de cuasicampo izquierdo . Un cuasicampo derecho se define de manera similar, pero en cambio satisface la distributividad derecha. Un cuasicampo que satisface ambas leyes distributivas se llama semicampo , en el sentido en que se usa el término en geometría proyectiva .
Aunque no se asume, se puede probar que los axiomas implican que el grupo aditivo es abeliano . Por tanto, cuando se hace referencia a un cuasifcampo abeliano , se quiere decir que es abeliano.
Núcleo
El kernel K de un cuasifield Q es el conjunto de todos los elementos c tales que:
Restringir las operaciones binarias + y a K, se puede demostrar que es un anillo de división .
Ahora se puede hacer un espacio vectorial de Q sobre K, con la siguiente multiplicación escalar:
Como un anillo de división finito es un campo finito según el teorema de Wedderburn , el orden del núcleo de un cuasifcampo finito es una potencia prima . La construcción del espacio vectorial implica que el orden de cualquier cuasicampo finito también debe ser una potencia primaria.
Ejemplos de
Todos los anillos de división y, por lo tanto, todos los campos, son cuasifcampos.
Los cuasicampos más pequeños son abelianos y únicos. Son los campos finitos de órdenes hasta ocho inclusive. Los cuasicampos más pequeños que no son anillos de división son los cuatro cuasicampos no abelianos de orden nueve; se presentan en Hall, Jr. (1959) y Weibel (2007) .
Planos proyectivos
Dado un cuasifield , definimos un mapa ternario por
Entonces se puede verificar que satisface los axiomas de un anillo ternario plano . Asociado aes su plano proyectivo correspondiente . Los planos proyectivos construidos de esta manera se caracterizan de la siguiente manera; los detalles de esta relación se dan en Hall, Jr. (1959) . Un plano proyectivo es un plano de traslación con respecto a la línea en el infinito si y solo si alguno (o todos) de sus anillos ternarios planos asociados son cuasifamilias rectos. Se llama plano de corte si alguno (o todos) de sus anillos ternarios son cuasifamilias.
El avión no determina de forma única el anillo; los 4 cuasifcampos no belianos de orden 9 son anillos ternarios para el plano de traslación no desarguesiano único de orden 9. Estos difieren en el cuadrilátero fundamental utilizado para construir el plano (ver Weibel 2007).
Historia
Los cuasifields fueron llamados "sistemas Veblen-Wedderburn" en la literatura antes de 1975, ya que fueron estudiados por primera vez en el artículo de 1907 (Veblen-Wedderburn 1907) por O. Veblen y J. Wedderburn . En Hall, Jr. (1959) y Weibel (2007) se pueden encontrar estudios de cuasifcampos y sus aplicaciones a planos proyectivos .
Referencias
- Hall, Jr., Marshall (1959), Teoría de grupos , Macmillan, LCCN 59005035 , MR 0103215.
- Veblen, O .; Wedderburn, JHM (1907), "Geometrías no desarguesianas y no pascalianas" (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 8 (3): 379–388, doi : 10.2307 / 1988781 , JSTOR 1988781
- Weibel, Charles (2007), "Estudio de planos no desarguesianos" , Avisos del AMS , 54 (10): 1294–1303
Ver también
enlaces externos
- Cuasifields de Hauke Klein.