En lógica , los lenguajes formales utilizados para crear expresiones consisten en símbolos , que se pueden dividir ampliamente en constantes y variables . Las constantes de un lenguaje se pueden dividir además en símbolos lógicos y símbolos no lógicos (a veces también llamados constantes lógicas y no lógicas ).
Los símbolos no lógicos de un lenguaje de lógica de primer orden consisten en predicados y constantes individuales. Estos incluyen símbolos que, en una interpretación, pueden representar constantes, variables , funciones o predicados individuales . Un lenguaje de lógica de primer orden es un lenguaje formal sobre el alfabeto que consiste en sus símbolos no lógicos y sus símbolos lógicos . Estos últimos incluyen conectivos lógicos , cuantificadores y variables que representan declaraciones .
Un símbolo no lógico sólo tiene significado o contenido semántico cuando se le asigna mediante una interpretación . En consecuencia, una oración que contiene un símbolo no lógico carece de significado excepto bajo una interpretación, por lo que se dice que una oración es verdadera o falsa bajo una interpretación . Estos conceptos se definen y discuten en el artículo sobre lógica de primer orden y, en particular, en la sección sobre sintaxis .
Las constantes lógicas , por el contrario, tienen el mismo significado en todas las interpretaciones. Incluyen los símbolos de las conectivas funcionales de verdad (como "y", "o", "no", "implica" y equivalencia lógica ) y los símbolos de los cuantificadores "para todos" y "existe".
El símbolo de igualdad a veces se trata como un símbolo no lógico y, a veces, se trata como un símbolo de lógica. Si se trata como un símbolo lógico, entonces se requerirá cualquier interpretación para interpretar el signo de igualdad usando la igualdad verdadera; si se interpreta como un símbolo no lógico, puede ser interpretado por una relación de equivalencia arbitraria .
Firmas
Una firma es un conjunto de constantes no lógicas junto con información adicional que identifica cada símbolo como un símbolo constante o un símbolo de función de una aridad específica n (un número natural), o un símbolo de relación de una aridad específica. La información adicional controla cómo se pueden utilizar los símbolos no lógicos para formar términos y fórmulas. Por ejemplo, si f es un símbolo de función binaria y c es un símbolo constante, entonces f ( x , c ) es un término, pero c ( x , f ) no es un término. Los símbolos de relación no se pueden usar en términos, pero se pueden usar para combinar uno o más (según la aridad) términos en una fórmula atómica.
Por ejemplo, una firma podría consistir en un símbolo de función binaria +, un símbolo constante 0 y un símbolo de relación binaria <.
Modelos
Las estructuras sobre una firma, también conocidas como modelos , proporcionan semántica formal a una firma y el lenguaje de primer orden sobre ella.
Una estructura sobre una firma consiste en un conjunto D , conocido como el dominio del discurso , junto con las interpretaciones de los símbolos no lógicos: cada símbolo constante es interpretado por un elemento de D , y la interpretación de un símbolo de función n- aria es una función n -aria en D , es decir, una función D n → D del producto cartesiano n- veces del dominio al dominio mismo. Cada símbolo de relación n -aria es interpretado por una relación n -aria en el dominio, es decir, por un subconjunto de D n .
Un ejemplo de una estructura sobre la firma mencionada anteriormente es el grupo ordenado de números enteros . Su dominio es el conjunto = {…, –2, –1, 0, 1, 2,…} de enteros. El símbolo de función binaria + se interpreta por suma, el símbolo constante 0 por la identidad aditiva y el símbolo de relación binaria
Semántica informal
Fuera de un contexto matemático, a menudo es más apropiado trabajar con interpretaciones más informales.
Signos descriptivos
Rudolf Carnap introdujo una terminología que distingue entre símbolos lógicos y no lógicos (a los que llamó signos descriptivos ) de un sistema formal bajo un cierto tipo de interpretación , definido por lo que describen en el mundo.
Un signo descriptivo se define como cualquier símbolo de un lenguaje formal que designa cosas o procesos en el mundo, o propiedades o relaciones de las cosas. Esto contrasta con los signos lógicos que no designan nada en el mundo de los objetos. El uso de signos lógicos está determinado por las reglas lógicas del lenguaje, mientras que el significado se atribuye arbitrariamente a los signos descriptivos cuando se aplican a un dominio determinado de individuos. [1]
Ver también
Referencias
- ^ Carnap, Rudolf (1958). Introducción a la lógica simbólica y sus aplicaciones . Nueva York: Dover.
- Notas
enlaces externos
- Sección de semántica en la lógica clásica (una entrada de la Enciclopedia de Filosofía de Stanford )