se distribuye de acuerdo con la distribución chi-cuadrado no central. Tiene dos parámetros:que especifica el número de grados de libertad (es decir, el número de), y que está relacionado con la media de las variables aleatorias por:
a veces se denomina parámetro de no centralidad . Tenga en cuenta que algunas referencias definen de otras formas, como la mitad de la suma anterior o su raíz cuadrada.
Esta distribución surge en la estadística multivariante como una derivada de la distribución normal multivariada . Mientras que la distribución central de chi-cuadrado es la norma al cuadrado de un vector aleatorio con distribución (es decir, la distancia al cuadrado desde el origen hasta un punto tomado al azar de esa distribución), el no central es la norma al cuadrado de un vector aleatorio con distribución. Aquíes un vector cero de longitud k , y es la matriz identidad de tamaño k .
dónde se distribuye como chi-cuadrado con grados de libertad.
A partir de esta representación, se ve que la distribución de chi-cuadrado no central es una mezcla ponderada de Poisson de distribuciones de chi-cuadrado centrales. Suponga que una variable aleatoria J tiene una distribución de Poisson con media, y la distribución condicional de Z dado J = i es chi-cuadrado con k + 2 i grados de libertad. Entonces, la distribución incondicional de Z es chi-cuadrado no central con k grados de libertad y parámetro de no centralidad.
Alternativamente, el pdf se puede escribir como
dónde es una función de Bessel modificada del primer tipo dada por
Nuevamente, usando la relación entre las distribuciones chi-cuadrado central y no central, la función de distribución acumulativa (CDF) se puede escribir como
dónde es la función de distribución acumulativa de la distribución central de chi-cuadrado con k grados de libertad que viene dada por
que es bastante precisa y se adapta bien a la no centralidad. También, se convierte en por , el caso chi-cuadrado (central) .
Sankaran [4] analiza una serie de aproximaciones de forma cerrada para la función de distribución acumulativa . En un artículo anterior, [5] derivó y establece la siguiente aproximación:
dónde
denota la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar ;
Esta y otras aproximaciones se comentan en un libro de texto posterior. [6]
Para una probabilidad dada, estas fórmulas se invierten fácilmente para proporcionar la aproximación correspondiente para , para calcular cuantiles aproximados.
Derivación del pdf
La derivación de la función de densidad de probabilidad se realiza más fácilmente realizando los siguientes pasos:
Desde tienen variaciones unitarias, su distribución conjunta es esféricamente simétrica, hasta un cambio de ubicación.
La simetría esférica implica entonces que la distribución de depende de los medios solo a través de la longitud al cuadrado, . Sin pérdida de generalidad, podemos, por tanto, tomar y .
Ahora derive la densidad de (es decir, el caso k = 1). La transformación simple de variables aleatorias muestra que
dónde es la densidad normal estándar.
Expanda el término cosh en una serie de Taylor. Esto da la representación de mezcla ponderada de Poisson de la densidad, aún para k = 1. Los índices de las variables aleatorias chi-cuadrado en la serie anterior son 1 + 2 i en este caso.
Finalmente, para el caso general. Hemos asumido, sin pérdida de generalidad, que son estándar normal, por lo que tiene una distribución central de chi-cuadrado con ( k - 1) grados de libertad, independiente de. Usando la representación de mezcla ponderada por Poisson para, y el hecho de que la suma de las variables aleatorias de chi-cuadrado también sea un chi-cuadrado, completa el resultado. Los índices de la serie son (1 + 2 i ) + ( k - 1) = k + 2 i según se requiera.
Distribuciones relacionadas
Si se chi-cuadrado distribuye luego también se distribuye chi-cuadrado no central:
Una combinación lineal de variables chi-cuadrado no centrales independientes , tiene una distribución chi-cuadrado generalizada .
Si y y es independiente de a continuación, un no central F -distribuida variable se desarrolló como
Si , luego
Si , luego toma la distribución de Rice con el parámetro.
Aproximación normal: [7] si, luego en distribución como o .
Si y , dónde son independientes, entonces dónde .
En general, para un conjunto finito de , la suma de estas variables aleatorias distribuidas en chi-cuadrado no central tiene la distribución dónde . Esto se puede ver usando las funciones generadoras de momento de la siguiente manera: por la independencia de la variables aleatorias. Queda por conectar el MGF para las distribuciones chi cuadrado no centrales en el producto y calcular el nuevo MGF; esto se deja como un ejercicio. Alternativamente, se puede ver a través de la interpretación en la sección de antecedentes anterior como sumas de cuadrados de variables aleatorias independientes normalmente distribuidas con varianzas de 1 y las medias especificadas.
La compleja distribución chi-cuadrado no central tiene aplicaciones en sistemas de radar y comunicaciones por radio. [ cita requerida ] DejaSer variables aleatorias complejas escalares independientes con simetría circular no central, medias de y variaciones de unidades: . Entonces la variable aleatoria real se distribuye de acuerdo con la compleja distribución chi-cuadrado no central:
dónde
Transformaciones
Sankaran (1963) analiza las transformaciones de la forma . Analiza las expansiones de los acumulados de hasta el término y muestra que las siguientes opciones de producir resultados razonables:
hace el segundo acumulativo de aproximadamente independiente de
hace el tercer acumulativo de aproximadamente independiente de
hace el cuarto acumulativo de aproximadamente independiente de
Además, una transformación más simple se puede utilizar como una transformación estabilizadora de varianza que produce una variable aleatoria con media y varianza .
La usabilidad de estas transformaciones puede verse obstaculizada por la necesidad de extraer las raíces cuadradas de los números negativos.
Varias distribuciones de chi y chi-cuadrado
Nombre
Estadística
distribución de chi-cuadrado
distribución chi-cuadrado no central
distribución de chi
distribución de chi no central
Ocurrencias
Usar en intervalos de tolerancia
Se pueden obtener intervalos de tolerancia de regresión normal de dos lados basados en la distribución chi-cuadrado no central. [8] Esto permite el cálculo de un intervalo estadístico dentro del cual, con cierto nivel de confianza, se encuentra una proporción específica de una población muestreada.
Notas
^ Teorema 1.3.4 de Muirhead (2005)
^ Nuttall, Albert H. (1975): algunas integrales que Adoptan la Q M Función , IEEE Transactions on Information Theory , 21 (1), 95-96, ISSN 0018 a 9.448
^ Abdel-Aty, S. (1954). Fórmulas aproximadas para los puntos porcentuales y la integral de probabilidad de la distribución χ2 no central Biometrika 41, 538–540. doi: 10.2307 / 2332731
^ Sankaran, M. (1963). Aproximaciones a la distribución chi-cuadrado no central Biometrika , 50 (1-2), 199-204
^ Sankaran, M. (1959). "Sobre la distribución chi-cuadrado no central", Biometrika 46, 235-237
^ Johnson y col. (1995) Distribuciones univariadas continuas Sección 29.8
^ Muirhead (2005) páginas 22-24 y problema 1.18.
^Derek S. Young (agosto de 2010). "tolerancia: un paquete R para estimar intervalos de tolerancia" . Revista de software estadístico . 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660 . Consultado el 19 de febrero de 2013 ., pág.32
Referencias
Abramowitz, M. y Stegun, IA (1972), Manual de funciones matemáticas , Dover. Sección 26.4.25.
Johnson, NL, Kotz, S., Balakrishnan, N. (1995), Distribuciones univariadas continuas, Volumen 2 (2ª edición) , Wiley. ISBN 0-471-58494-0
Muirhead, R. (2005) Aspectos de la teoría estadística multivariante (2ª edición). Wiley. ISBN 0-471-76985-1
Siegel, AF (1979), "La distribución chi-cuadrado no central con cero grados de libertad y prueba de uniformidad", Biometrika , 66, 381-386
Press, SJ (1966), "Combinaciones lineales de variables chi-cuadrado no centrales", The Annals of Mathematical Statistics , 37 (2): 480–487, doi : 10.1214 / aoms / 1177699531 , JSTOR 2238621