En matemáticas y física, una ecuación diferencial parcial no lineal es una ecuación diferencial parcial con términos no lineales . Describen muchos sistemas físicos diferentes, que van desde la gravitación hasta la dinámica de fluidos, y se han utilizado en matemáticas para resolver problemas como la conjetura de Poincaré y la conjetura de Calabi . Son difíciles de estudiar: casi no existen técnicas generales que funcionen para todas esas ecuaciones y, por lo general, cada ecuación individual debe estudiarse como un problema separado.
La distinción entre una ecuación diferencial parcial lineal y una no lineal generalmente se hace en términos de las propiedades del operador que define la propia EDP. [1]
Una pregunta fundamental para cualquier PDE es la existencia y unicidad de una solución para condiciones de contorno dadas. Para ecuaciones no lineales, estas preguntas son, en general, muy difíciles: por ejemplo, la parte más difícil de la solución de Yau de la conjetura de Calabi fue la prueba de existencia de una ecuación de Monge-Ampere . El problema abierto de la existencia (y suavidad) de las soluciones a las ecuaciones de Navier-Stokes es uno de los siete problemas del Premio del Milenio en matemáticas.
Las cuestiones básicas acerca de las singularidades (su formación, propagación y eliminación, y la regularidad de las soluciones) son las mismas que para la PDE lineal, pero, como de costumbre, mucho más difíciles de estudiar. En el caso lineal, solo se pueden usar espacios de distribuciones, pero las PDE no lineales generalmente no se definen en distribuciones arbitrarias, por lo que se reemplazan los espacios de distribuciones por refinamientos como los espacios de Sobolev .
El flujo de Ricci proporciona un ejemplo de formación de singularidades : Richard S. Hamilton demostró que, si bien existen soluciones de tiempo corto, las singularidades generalmente se forman después de un tiempo finito. La solución de Grigori Perelman a la conjetura de Poincaré dependía de un estudio profundo de estas singularidades, donde mostró cómo continuar la solución más allá de las singularidades.
Las soluciones en una vecindad de una solución conocida a veces se pueden estudiar linealizando la PDE alrededor de la solución. Esto corresponde a estudiar el espacio tangente de un punto del espacio de módulos de todas las soluciones.