En matemáticas, la conjetura de Calabi fue una conjetura sobre la existencia de ciertas métricas riemannianas "agradables" sobre ciertas variedades complejas , hecha por Eugenio Calabi ( 1954 , 1957 ) y probada por Shing-Tung Yau ( 1977 , 1978 ). Yau recibió la Medalla Fields en 1982 en parte por esta prueba.
La conjetura de Calabi establece que una variedad de Kähler compacta tiene una métrica de Kähler única en la misma clase cuya forma de Ricci es cualquier forma 2 dada que representa la primera clase de Chern . En particular, si la primera clase Chern desaparece, hay una métrica de Kähler única en la misma clase con la curvatura de Ricci que desaparece ; estos se denominan variedades Calabi-Yau .
Más formalmente, la conjetura de Calabi establece:
- Si M es un colector Kähler compacto con sistema métrico Kähler y forma de Kähler , y R es cualquier forma (1,1) que representa la primera clase Chern de la variedad , entonces existe una métrica de Kähler única en M con forma de Kähler tal que y representan la misma clase en cohomologíay la forma Ricci de es R .
La conjetura de Calabi está estrechamente relacionada con la cuestión de qué variedades de Kähler tienen métricas de Kähler-Einstein .
Métricas de Kähler-Einstein
Una conjetura estrechamente relacionada con la conjetura de Calabi establece que si una variedad Kähler compacta tiene una primera clase Chern negativa, cero o positiva, entonces tiene una métrica de Kähler-Einstein en la misma clase que su métrica de Kähler, única hasta el cambio de escala. Thierry Aubin y Shing-Tung Yau probaron esto para las primeras clases negativas de Chern independientemente en 1976. Cuando la clase de Chern es cero, Yau lo demostró como una consecuencia fácil de la conjetura de Calabi. Estos resultados nunca fueron conjeturados explícitamente por Calabi, pero se habrían derivado de los resultados que anunció en su charla de 1954 en el Congreso Internacional de Matemáticos . [ cita requerida ]
Cuando la primera clase de Chern es positiva, la conjetura anterior es en realidad falsa como consecuencia de un resultado de Yozo Matsushima , que muestra que el grupo de automorfismo complejo de una variedad de Kähler-Einstein de curvatura escalar positiva es necesariamente reductivo. Por ejemplo, el plano proyectivo complejo explotado en 2 puntos no tiene métrica de Kähler-Einstein y, por lo tanto, es un contraejemplo. Otro problema que surge de los automorfismos complejos es que pueden conducir a una falta de unicidad para la métrica de Kähler-Einstein, incluso cuando existe. Sin embargo, los automorfismos complejos no son la única dificultad que surge en el caso positivo. De hecho, Yau et al conjeturaron que cuando la primera clase de Chern es positiva, una variedad de Kähler admite una métrica de Kähler-Einstein si y solo si es K-estable. Una prueba de esta conjetura fue publicada por Xiuxiong Chen , Simon Donaldson y Song Sun en enero de 2015, [1] [2] [3] y Tian dio una prueba publicada electrónicamente el 16 de septiembre de 2015. [4] [5]
Por otro lado, en el caso especial de la dimensión compleja dos, una superficie compleja compacta con primera clase Chern positiva admite una métrica de Kähler-Einstein si y solo si su grupo de automorfismo es reductivo. Este importante resultado a menudo se atribuye a Gang Tian . Desde la demostración de Tian, ha habido algunas simplificaciones y refinamientos de los argumentos involucrados; cf. el artículo de Odaka, Spotti y Sun citado a continuación. Las superficies complejas que admiten tales métricas de Kähler-Einstein son, por lo tanto, exactamente el plano proyectivo complejo, el producto de dos copias de una línea proyectiva y ampliaciones del plano proyectivo en 3 a 8 puntos en posición general. [ cita requerida ]
Esquema de la prueba de la conjetura de Calabi
Calabi transformó la conjetura de Calabi en una ecuación diferencial parcial no lineal de tipo complejo Monge-Ampère , y demostró que esta ecuación tiene como máximo una solución, estableciendo así la unicidad de la métrica de Kähler requerida.
Yau demostró la conjetura de Calabi construyendo una solución de esta ecuación usando el método de continuidad . Esto implica primero resolver una ecuación más fácil y luego mostrar que una solución a la ecuación fácil se puede deformar continuamente a una solución de la ecuación difícil. La parte más difícil de la solución de Yau es probar ciertas estimaciones a priori para las derivadas de soluciones.
Transformación de la conjetura de Calabi a una ecuación diferencial
Suponer que es un colector compacto complejo con forma de Kähler . Cualquier otra forma de Kähler de la misma clase tiene la forma
para una función suave en , único hasta la suma de una constante. La conjetura de Calabi es, por tanto, equivalente al siguiente problema:
- Dejar ser una función suave positiva en con valor promedio 1. Entonces hay una función real suave ; con
- y ; es único hasta la adición de una constante.
Ésta es una ecuación de tipo complejo Monge-Ampère para una sola función . Es una ecuación diferencial parcial particularmente difícil de resolver, ya que no es lineal en los términos de orden más alto. Es fácil resolverlo cuando, como es una solucion. La idea del método de continuidad es mostrar que se puede resolver para todos mostrando que el conjunto de para lo cual se puede resolver es tanto abierto como cerrado. Dado que el conjunto de para el que se puede resolver no está vacío, y el conjunto de todos está conectado, esto muestra que se puede resolver para todos .
El mapa de funciones fluidas a funciones fluidas tomando a definido por
no es inyectiva ni sobreyectiva. No es inyectivo porque agregar una constante a no cambia , y no es sobreyectiva porque debe ser positivo y tener un valor promedio 1. Por lo tanto, consideramos el mapa restringido a funciones que están normalizados para tener un valor promedio de 0, y pregunte si este mapa es un isomorfismo en el conjunto de valores positivos con valor promedio 1. Calabi y Yau demostraron que efectivamente es un isomorfismo. Esto se realiza en varios pasos, que se describen a continuación.
Singularidad de la solución
Demostrar que la solución es única implica demostrar que si
entonces φ 1 y φ 2 difieren en una constante (por lo que deben ser iguales si ambos están normalizados para tener un valor promedio 0). Calabi demostró esto mostrando que el valor promedio de
viene dado por una expresión que es como máximo 0. Como obviamente es al menos 0, debe ser 0, entonces
que a su vez obliga a φ 1 y φ 2 a diferir por una constante.
El conjunto de F está abierto
Probar que el conjunto de posibles F es abierto (en el conjunto de funciones suaves con valor promedio 1) implica demostrar que si es posible resolver la ecuación para algún F , entonces es posible resolverlo para todos los F suficientemente cercanos . Calabi demostró esto usando el teorema de la función implícita para espacios de Banach : para aplicar esto, el paso principal es demostrar que la linealización del operador diferencial anterior es invertible.
El conjunto de F está cerrado
Esta es la parte más difícil de la prueba, y fue la parte realizada por Yau. Supongamos que F está en el cierre de la imagen de posibles funciones φ. Esto significa que hay una secuencia de funciones φ 1 , φ 2 , ... tal que las funciones correspondientes F 1 , F 2 , ... convergen a F , y el problema es mostrar que alguna subsecuencia de φs converge a una solución φ. Para hacer esto, Yau encuentra algunos límites a priori para las funciones φ i y sus derivadas más altas en términos de las derivadas más altas de log ( f i ). Encontrar estos límites requiere una larga secuencia de estimaciones precisas, cada una de las cuales mejora ligeramente con respecto a la estimación anterior. Los límites que obtiene Yau son suficientes para mostrar que todas las funciones φ i se encuentran en un subconjunto compacto de un espacio de funciones de Banach adecuado, por lo que es posible encontrar una subsecuencia convergente. Esta subsecuencia converge a una función φ con la imagen F , que muestra que el conjunto de posibles imágenes F está cerrado.
Referencias
- ^ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Métricas de Sun, Song Kähler-Einstein en colectores Fano. I: Aproximación de métricas con singularidades de cono. J. Amer. Matemáticas. Soc. 28 (enero de 2015), no. 1, 183-197.
- ^ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Métricas de Sun, Song Kähler-Einstein en colectores Fano. II: Límites con ángulo de cono menor que 2π. J. Amer. Matemáticas. Soc. 28 (enero de 2015), no. 1, 199-234.
- ^ Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Métricas de Sun, Song Kähler-Einstein en colectores Fano. III: Límites cuando el ángulo del cono se acerca a 2π y se completa la prueba principal. J. Amer. Matemáticas. Soc. 28 (enero de 2015), no. 1, 235–278.
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- ^ Gang Tian: Corrigendum: K-estabilidad y métricas de Kähler-Einstein. Communications on Pure and Applied Mathematics, Volumen 68, Edición 11, páginas 2082–2083, septiembre de 2015 http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.21612/full
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enlaces externos
- Yau, Shing Tung (2009), "Calabi-Yau manifold", Scholarpedia , 4 (8): 6524, Bibcode : 2009SchpJ ... 4.6524Y , doi : 10.4249 / scholarpedia.6524