En física matemática, realización no lineal de un grupo de Lie G posee un Cartan subgrupo H es un particular, representación inducida de G . De hecho, es una representación de un álgebra de Lie.
de G en un barrio de su origen. Una realización no lineal, cuando se restringe al subgrupo H, se reduce a una representación lineal.
Una técnica de realización no lineal es parte integrante de muchas teorías de campo con ruptura espontánea de simetría , por ejemplo, modelos quirales , de última hora simetría quiral , Higgs Goldstone teoría, la teoría clásica campo de Higgs , teoría del calibrador gravitación y supergravedad .
Deje G un grupo de Lie y H su subgrupo Cartan que admite una representación lineal en un espacio vectorial V . Un álgebra de mentira
de G se divide en la suma
de la subálgebra de Cartan
de H y su suplemento
, tal que
![{\ Displaystyle [{\ mathfrak {f}}, {\ mathfrak {f}}] \ subconjunto {\ mathfrak {h}}, \ qquad [{\ mathfrak {f}}, {\ mathfrak {h}}] \ subconjunto {\ mathfrak {f}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(En física, por ejemplo,
equivalen a generadores de vectores y
a axiales.)
Existe una vecindad abierta U de la unidad de G tal que cualquier elemento
se incorpora de forma única a la forma
![{\ Displaystyle g = \ exp (F) \ exp (I), \ qquad F \ in {\ mathfrak {f}}, \ qquad I \ in {\ mathfrak {h}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Dejar
ser un vecindario abierto de la unidad de G tal que
, y deja
ser un barrio abierto del centro invariante H
del cociente G / H que consta de elementos
![{\ Displaystyle \ sigma = g \ sigma _ {0} = \ exp (F) \ sigma _ {0}, \ qquad g \ in U_ {G}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Luego hay una sección local
de
encima
.
Con esta sección local, se puede definir la representación inducida , llamada realización no lineal , de elementos
en
dado por las expresiones
![{\ Displaystyle g \ exp (F) = \ exp (F ') \ exp (I'), \ qquad g: (\ exp (F) \ sigma _ {0}, v) \ to (\ exp (F ') ) \ sigma _ {0}, \ exp (I ') v).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La realización no lineal correspondiente de un álgebra de Lie
de G toma la siguiente forma.
Dejar
,
ser las bases para
y
, respectivamente, junto con las relaciones de conmutación
![{\ Displaystyle [I_ {a}, I_ {b}] = c_ {ab} ^ {d} I_ {d}, \ qquad [F _ {\ alpha}, F _ {\ beta}] = c _ {\ alpha \ beta } ^ {d} I_ {d}, \ qquad [F _ {\ alpha}, I_ {b}] = c _ {\ alpha b} ^ {\ beta} F _ {\ beta}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Entonces una realización no lineal deseada de
en
lee
,
![{\ Displaystyle F _ {\ alpha} (\ sigma ^ {\ gamma}) = \ delta _ {\ alpha} ^ {\ gamma} + {\ frac {1} {12}} (c _ {\ alpha \ mu} ^ {\ beta} c _ {\ beta \ nu} ^ {\ gamma} -3c _ {\ alpha \ mu} ^ {b} c _ {\ nu b} ^ {\ gamma}) \ sigma ^ {\ mu} \ sigma ^ {\ nu}, \ qquad I_ {a} (\ sigma ^ {\ gamma}) = c_ {a \ nu} ^ {\ gamma} \ sigma ^ {\ nu},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
hasta el segundo orden en
.
En modelos físicos, los coeficientes
se tratan como campos Goldstone . Del mismo modo, se consideran realizaciones no lineales de superalgebras de Lie .