En física nuclear , el modelo quiral , introducido por Feza Gürsey en 1960, es un modelo fenomenológico que describe interacciones efectivas de mesones en el límite quiral (donde las masas de los quarks van a cero), pero sin mencionar necesariamente los quarks. Es un modelo sigma no lineal con el espacio homogéneo principal del grupo de Lie SU ( N ) como su variedad objetivo , donde N es el número de sabores de quark . La métrica de Riemannde la variedad objetivo viene dada por una constante positiva multiplicada por la forma Killing que actúa sobre la forma Maurer-Cartan de SU ( N ).
La simetría global interna de este modelo es SU ( N ) L × SU ( N ) R , las copias izquierda y derecha, respectivamente; donde la copia de la izquierda actúa como la acción de la izquierda en el espacio de destino, y la copia de la derecha actúa como la acción de la derecha . La copia de la izquierda representa las rotaciones de sabor entre los quarks de la mano izquierda, mientras que la copia de la derecha describe las rotaciones entre los quarks de la mano derecha, mientras que estos, L y R, son completamente independientes entre sí. Las piezas axiales de estas simetrías se rompen espontáneamente de modo que los campos escalares correspondientes son los bosones de Nambu-Goldstone necesarios .
Este modelo admite solitones topológicos llamados skyrmions .
Las desviaciones de la simetría quiral exacta se tratan en la teoría de la perturbación quiral .
Un esquema del modelo original de 2 sabores
El modelo quiral de Gürsey (1960; véase también Gell-Mann y Lévy) ahora se considera una teoría eficaz de QCD con dos quarks ligeros, u y d . El QCD Lagrangiano es aproximadamente invariante bajo rotaciones de sabor globales independientes de los campos de quark de la mano izquierda y derecha,
donde τ denota las matrices de Pauli en el espacio de sabor y θ L , θ R son los ángulos de rotación correspondientes.
El grupo de simetría correspondiente es el grupo quiral, controlado por las seis corrientes conservadas
que puede expresarse igualmente bien en términos de las corrientes vectoriales y vectoriales axiales
Las correspondientes cargas conservadas generan el álgebra del grupo quiral,
con I = L, R o, de manera equivalente,
La aplicación de estas relaciones de conmutación a reacciones hadrónicas dominó los cálculos de álgebra actuales a principios de los años setenta del siglo pasado.
A nivel de hadrones, mesones pseudoescalares, el ámbito del modelo quiral, el quiral grupo se divide espontáneamente en, por el vacío QCD . Es decir, se realiza de forma no lineal , en el modo Nambu-Goldstone : ¡Las Q V aniquilan el vacío, pero las Q A no! Esto se visualiza muy bien a través de un argumento geométrico basado en el hecho de que el álgebra de Lie dees isomorfo al de SO (4). El subgrupo ininterrumpido, realizado en el modo lineal Wigner-Weyl, es que es localmente isomorfo a SU (2) (V: isospin).
Para construir una realización no lineal de SO (4), la representación que describe rotaciones en cuatro dimensiones de un vector
para una rotación infinitesimal parametrizada por seis ángulos
es dado por
dónde
Las cuatro cantidades reales ( π , σ ) definen el multiplete quiral no trivial más pequeño y representan el contenido de campo del modelo sigma lineal.
Para pasar de la realización lineal anterior de SO (4) a la no lineal, observamos que, de hecho, solo tres de los cuatro componentes de ( π , σ ) son independientes con respecto a las rotaciones en cuatro dimensiones. Estos tres componentes independientes corresponden a coordenadas en una hiperesfera S 3 , donde π y σ están sujetos a la restricción
con F a ( desintegración de piones ) constante de dimensión masa.
Utilizar esto para eliminar σ produce las siguientes propiedades de transformación de π bajo SO (4),
Los términos no lineales (desplazamiento π ) en el lado derecho de la segunda ecuación subyacen a la realización no lineal de SO (4). El grupo quiral se realiza de forma no lineal en el triplete de piones, que, sin embargo, todavía se transforman linealmente bajo isospin rotaciones parametrizadas a través de los ángulos Por el contrario, el representan los "cambios" no lineales (ruptura espontánea).
A través del mapa de espinor , estas rotaciones en cuatro dimensiones de ( π , σ ) también se pueden escribir convenientemente usando la notación matricial 2 × 2 al introducir la matriz unitaria
y requiriendo que las propiedades de transformación de U bajo rotaciones quirales sean
dónde
La transición a la realización no lineal sigue,
dónde denota el rastro en el espacio de sabor. Este es un modelo sigma no lineal .
Términos que involucran o no son independientes y se pueden llevar a esta forma mediante una integración parcial. La constante de F 2 /4 se elige de tal manera que los partidos de Lagrange la usual término libre para campos escalares sin masa cuando se escribe en términos de los piones,
Parametrización alternativa
Una parametrización alternativa, equivalente (Gürsey, 1960)
produce una expresión más simple para U ,
Tenga en cuenta la transformada π reparametrizada en
así, entonces, manifiestamente idéntica a lo anterior bajo isorrotaciones, V ; y de manera similar a lo anterior, como
bajo las simetrías rotas, A , los cambios. Esta expresión más simple se generaliza fácilmente (Cronin, 1967) a N quarks ligeros, por lo que
Referencias
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- Cronin, J. (1967). "Modelo fenomenológico de interacciones fuertes y débiles en quiral U (3) ⊗U (3)", Phys Rev 161 (5): 1483. doi : 10.1103 / PhysRev.161.1483 .