Conjunto no medible
En matemáticas , un conjunto no medible es un conjunto al que no se le puede asignar un "volumen" significativo. La existencia matemática de tales conjuntos se interpreta para proporcionar información sobre las nociones de longitud , área y volumen en la teoría formal de conjuntos. En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , el axioma de elección implica que existen subconjuntos no medibles.
La noción de conjunto no medible ha sido fuente de gran controversia desde su introducción. Históricamente, esto llevó a Borel y Kolmogorov a formular la teoría de la probabilidad sobre conjuntos que están restringidos a ser medibles. Los conjuntos medibles en la línea son uniones contables iteradas e intersecciones de intervalos (llamados conjuntos de Borel) conjuntos nulos más-menos . Estos conjuntos son lo suficientemente ricos como para incluir todas las definiciones concebibles de un conjunto que surgen en las matemáticas estándar, pero requieren mucho formalismo para demostrar que los conjuntos son medibles.
En 1970, Robert M. Solovay construyó el modelo de Solovay , que muestra que es consistente con la teoría de conjuntos estándar sin elección incontable, que todos los subconjuntos de los reales son medibles. Sin embargo, el resultado de Solovay depende de la existencia de un cardinal inaccesible , cuya existencia y consistencia no pueden probarse dentro de la teoría de conjuntos estándar.
La primera indicación de que podría haber un problema al definir la longitud de un conjunto arbitrario provino del teorema de Vitali . [1]
Uno esperaría que la medida de la unión de dos conjuntos disjuntos sea la suma de la medida de los dos conjuntos. Una medida con esta propiedad natural se llama finitamente aditiva . Si bien una medida finitamente aditiva es suficiente para la mayoría de la intuición del área y es análoga a la integración de Riemann , se considera insuficiente para la probabilidad , porque los tratamientos modernos convencionales de secuencias de eventos o variables aleatorias exigen aditividad contable .
A este respecto, el plano es similar a la línea; hay una medida finitamente aditiva, extendiendo la medida de Lebesgue, que es invariante bajo todas las isometrías . Para dimensiones más altas, la imagen empeora. La paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski muestran que una bola tridimensional de radio 1 se puede dividir en 5 partes, que se pueden volver a ensamblar para formar dos bolas de radio 1.