En matemáticas , un conjunto de Vitali es un ejemplo elemental de un conjunto de números reales que no es medible por Lebesgue , encontrado por Giuseppe Vitali en 1905. [1] El teorema de Vitali es el teorema de existencia de que existen tales conjuntos. Hay incontables conjuntos de Vitali, y su existencia depende del axioma de elección . En 1970, Robert Solovay construyó un modelo de teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección donde todos los conjuntos de números reales son medibles según Lebesgue, asumiendo la existencia de un cardinal inaccesible.(ver modelo Solovay ). [2]
Conjuntos medibles
Ciertos conjuntos tienen una "longitud" o "masa" definida. Por ejemplo, se considera que el intervalo [0, 1] tiene una longitud de 1; de manera más general, se considera que un intervalo [ a , b ], a ≤ b , tiene una longitud b - a . Si pensamos en estos intervalos como barras de metal con densidad uniforme, también tienen masas bien definidas. El conjunto [0, 1] ∪ [2, 3] está compuesto por dos intervalos de longitud uno, por lo que tomamos su longitud total como 2. En términos de masa, tenemos dos barras de masa 1, por lo que la masa total es 2.
Hay una pregunta natural aquí: si E es un subconjunto arbitrario de la línea real, ¿tiene una 'masa' o una 'longitud total'? Como ejemplo, podríamos preguntar cuál es la masa del conjunto de números racionales , dado que la masa del intervalo [0, 1] es 1. Los racionales son densos en los reales, por lo que cualquier valor entre 0 y 1 inclusive puede parecer razonable.
Sin embargo, la generalización más cercana a la masa es la aditividad sigma , que da lugar a la medida de Lebesgue . Se asigna una medida de b - una para el intervalo [ a , b ], pero le asignará una medida de 0 al conjunto de los números racionales, ya que es numerable . Cualquier conjunto que tenga una medida de Lebesgue bien definida se dice que es "medible", pero la construcción de la medida de Lebesgue (por ejemplo, usando el teorema de extensión de Carathéodory ) no hace obvio si existen conjuntos no medibles. La respuesta a esa pregunta implica el axioma de elección .
Construcción y prueba
Un conjunto Vitali es un subconjunto del intervalo [0, 1] de números reales tal que, para cada número real, hay exactamente un número tal que es un número racional . Los conjuntos vitales existen porque los números racionales Q forman un subgrupo normal de los números reales R bajo la suma , y esto permite la construcción del grupo cociente aditivo R / Q de estos dos grupos que es el grupo formado por las clases laterales de los números racionales como un subgrupo de los números reales bajo suma. Este grupo R / Q consiste en disjuntos "cambió copias" de Q en el sentido de que cada elemento de este grupo cociente es un conjunto de la forma Q + r para algunos r en R . Los uncountably muchos elementos de R / Q partición R , y cada elemento es denso en R . Cada elemento de R / Q intersecta [0, 1], y el axioma de elección garantiza la existencia de un subconjunto de [0, 1] que contiene exactamente un cabo representante de cada elemento de R / Q . Un conjunto formado de esta manera se denomina conjunto Vitali.
Cada set de Vitali es incontable, y es irracional para cualquier .
No mensurabilidad
Un conjunto Vitali no se puede medir. Para mostrar esto, asumimos que V es medible y derivamos una contradicción. Sea q 1 , q 2 , ... una enumeración de los números racionales en [−1, 1] (recuerde que los números racionales son contables ). De la construcción de V , tenga en cuenta que los conjuntos traducidos, k = 1, 2, ... son disjuntos por pares, y tenga en cuenta además que
- .
Para ver la primera inclusión, considere cualquier número real r en [0, 1] y sea v el representante en V para la clase de equivalencia [ r ]; entonces r - v = q i para algún número racional q i en [-1, 1] lo que implica que r está en V i .
Aplique la medida de Lebesgue a estas inclusiones usando la aditividad sigma :
Debido a que la medida de Lebesgue es invariante a la traducción, y por lo tanto
Pero esto es imposible. Al sumar infinitas copias de la constante λ ( V ) se obtiene cero o infinito, según que la constante sea cero o positiva. En ningún caso es la suma en [1, 3]. Entonces, V no puede haber sido medible después de todo, es decir, la medida de Lebesgue λ no debe definir ningún valor para λ ( V ).
Ver también
Referencias
- ↑ Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bolonia, Tip. Gamberini e Parmeggiani .
- ^ Solovay, Robert M. (1970), "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de reales es medible según Lebesgue", Annals of Mathematics , Second Series, 92 : 1-56, doi : 10.2307 / 1970696 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970696 , MR 0265151
Bibliografía
- Herrlich, Horst (2006). Axioma de elección . Saltador. pag. 120 .
- Vitali, Giuseppe (1905). "Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta". Bolonia, Tip. Gamberini e Parmeggiani .