En matemáticas , un semigrupo conmutativo en ninguna parte es un semigrupo S tal que, para todo a y b en S , si ab = ba entonces a = b . [1] Un semigrupo S no es conmutativo en ninguna parte si y solo si dos elementos cualesquiera de S son inversos entre sí. [1]
Caracterización de semigrupos conmutativos en ninguna parte
En ninguna parte, los semigrupos conmutativos se pueden caracterizar de varias formas diferentes. Si S es un semigrupo, las siguientes declaraciones son equivalentes : [2]
- S no es conmutativo en ninguna parte.
- S es una banda rectangular (en el sentido en que John Howie [3] usa el término ).
- Para todo a y b en S , aba = a .
- Para todo a , b y c en S , a 2 = a y abc = ac .
Si bien, por definición, las bandas rectangulares son semigrupos concretos, tienen el defecto de que su definición no está formulada en términos de la operación binaria básica en el semigrupo. El enfoque a través de la definición de semigrupos conmutativos en ninguna parte rectifica este defecto. [2]
Para ver que un semigrupo conmutativo en ninguna parte es una banda rectangular, sea S un semigrupo conmutativo en ninguna parte. Usando las propiedades definitorias de un semigrupo conmutativo en ninguna parte, se puede ver que para cada a en S la intersección de las clases verdes R a y L a contiene el elemento único a . Let S / L sea la familia de L -Clases en S y S / R sean la familia de R -Clases en S . El mapeo
- ψ: S → ( S / R ) × ( S / L )
definido por
- a ψ = ( R a , L a )
es una biyección . Si el producto cartesiano ( S / R ) × ( S / L ) se convierte en un semigrupo al proporcionarle la multiplicación de bandas rectangulares, el mapa ψ se convierte en un isomorfismo . Entonces S es isomorfo a una banda rectangular.
Otras afirmaciones de equivalencias se derivan directamente de las definiciones pertinentes.
Ver también
Referencias
- ↑ a b A. H. Clifford , GB Preston (1964). La teoría algebraica de los semigrupos vol. I (segunda edición). Sociedad Americana de Matemáticas (p.26). ISBN 978-0-8218-0272-4
- ^ a b JM Howie (1976). Introducción a la teoría de los semigrupos . Monografías de LMS. 7 . Prensa académica. pag. 96.
- ^ JM Howie (1976). Introducción a la teoría de los semigrupos . Monografías de LMS. 7 . Prensa académica. pag. 3.