En matemáticas , una función continua en ninguna parte , también llamada función discontinua en todas partes , es una función que no es continua en ningún punto de su dominio . Si f es una función de números reales a números reales, entonces f no es continua en ninguna parte si para cada punto x hay un ε > 0 tal que para cada δ > 0 podemos encontrar un punto y tal que 0 <| x - y | < δ y | F( x ) - f ( y ) | ≥ ε . Por lo tanto, no importa qué tan cerca estemos de un punto fijo, hay puntos aún más cercanos en los que la función toma valores no cercanos.
Se pueden obtener definiciones más generales de este tipo de función, reemplazando el valor absoluto por la función de distancia en un espacio métrico , o usando la definición de continuidad en un espacio topológico .
Un ejemplo de tal función es la función indicadora de los números racionales , también conocida como función de Dirichlet . Esta función se denota como I Q o 1 Q y tiene dominio y codominio ambos iguales a los números reales . I Q ( x ) es igual a 1 si x es un número racional y 0 si x no es racional.
De manera más general, si E es cualquier subconjunto de un espacio topológico X tal que tanto E como el complemento de E son densos en X , entonces la función de valor real que toma el valor 1 en E y 0 en el complemento de E no estará en ninguna parte. continuo. Las funciones de este tipo fueron investigadas originalmente por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . [1]
Una función real f no es continua en ninguna parte si su extensión hiperreal natural tiene la propiedad de que cada x está infinitamente cerca de a y tal que la diferencia f ( x ) - f ( y ) es apreciable (es decir, no infinitesimal ).