Teoría de los números

Para el libro de André Weil, consulte Teoría de números: un enfoque a través de la historia de Hammurapi a Legendre .

No confundir con la numerología .

Rama de las matemáticas

La distribución de números primos es un punto central de estudio en la teoría de números. Esta espiral de Ulam sirve para ilustrarlo, insinuando, en particular, la independencia condicional entre ser primo y ser un valor de ciertos polinomios cuadráticos.

La teoría de números (o la aritmética o la aritmética más alta en el uso más antiguo) es una rama de la matemática pura dedicados principalmente al estudio de los números enteros y las funciones de valores enteros . El matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777-1855) dijo: "Las matemáticas son la reina de las ciencias y la teoría de números es la reina de las matemáticas". ^{[1] [nota 1] Los} teóricos numéricos estudian los números primos así como las propiedades de los objetos matemáticos hechos de números enteros (por ejemplo, números racionales ) o definidos como generalizaciones de los números enteros (por ejemplo, enteros algebraicos ).

Los números enteros pueden considerarse en sí mismos o como soluciones a ecuaciones ( geometría diofántica ). Las preguntas en teoría de números a menudo se entienden mejor a través del estudio de objetos analíticos (por ejemplo, la función zeta de Riemann ) que codifican propiedades de los números enteros, primos u otros objetos de la teoría de números de alguna manera ( teoría de números analítica ). También se pueden estudiar los números reales en relación con los números racionales, por ejemplo, como aproximados por estos últimos ( Aproximación diofántica ).

El término más antiguo para la teoría de números es aritmética . A principios del siglo XX, había sido reemplazada por la "teoría de números". ^{[nota 2]} (La palabra " aritmética " es utilizada por el público en general para significar " cálculos elementales "; también ha adquirido otros significados en lógica matemática , como en la aritmética de Peano , y en ciencias de la computación , como en la aritmética de coma flotante ). El uso del término aritmética para la teoría de números recuperó algo de terreno en la segunda mitad del siglo XX, posiblemente debido en parte a la influencia francesa. ^{[nota 3]} En particular, aritméticase prefiere comúnmente como adjetivo a la teoría de números .

Historia

Orígenes

Amanecer de la aritmética

La tableta Plimpton 322

El hallazgo histórico más antiguo de naturaleza aritmética es un fragmento de una tabla: la tablilla de arcilla rota Plimpton 322 ( Larsa, Mesopotamia , ca. 1800 a. C.) contiene una lista de " triples pitagóricos ", es decir, números enteros tales que . Los triples son demasiados y demasiado grandes para haber sido obtenidos por la fuerza bruta . El encabezado sobre la primera columna dice: "El takiltum de la diagonal que se ha restado de manera que el ancho ..." ^[2]${\displaystyle (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

El diseño de la mesa sugiere ^[3] que se construyó mediante lo que equivale, en lenguaje moderno, a la identidad

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},}$

que está implícito en los ejercicios rutinarios del Antiguo Babilónico . ^[4] Si se utilizó algún otro método, ^[5] las triples se construyeron primero y luego se reordenaron , presumiblemente para uso real como una "tabla", por ejemplo, con miras a aplicaciones.${\displaystyle c/a}$

No se sabe cuáles pueden haber sido estas aplicaciones, o si podría haber habido alguna; La astronomía babilónica , por ejemplo, se hizo realidad solo más tarde. En cambio, se ha sugerido que la tabla era una fuente de ejemplos numéricos para problemas escolares. ^{[6] [nota 4]}

Mientras que la teoría de números babilónica —o lo que sobrevive de las matemáticas babilónicas que se pueden llamar así— consiste en este fragmento único y sorprendente, el álgebra babilónica (en el sentido de " álgebra " de la escuela secundaria ) estaba excepcionalmente bien desarrollada. ^[7] Fuentes neoplatónicas tardías ^[8] afirman que Pitágoras aprendió matemáticas de los babilonios. Fuentes mucho anteriores ^[9] afirman que Tales y Pitágoras viajaron y estudiaron en Egipto .

Euclides IX 21–34 es muy probablemente pitagórico; ^[10] es un material muy simple ("los tiempos impares son pares", "si un número impar mide [= divide] un número par, entonces también mide [= divide] la mitad"), pero es todo eso Es necesario demostrar que es irracional . ^{[11] Los} místicos pitagóricos dieron gran importancia a los pares e impares. ^[12] El descubrimiento que es irracional se atribuye a los primeros pitagóricos (antes de Theodorus ). ^[13] 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$Al revelar (en términos modernos) que los números pueden ser irracionales, este descubrimiento parece haber provocado la primera crisis fundamental en la historia de la matemática; su prueba o su divulgación a veces se atribuyen a Hippasus , que fue expulsado o escindido de la secta pitagórica. ^[14] Esto forzó una distinción entre números (enteros y racionales, los sujetos de la aritmética), por un lado, y longitudes y proporciones (que identificaríamos con números reales, racionales o no), por otro lado.

La tradición pitagórica habla también de los llamados números poligonales o figurados . ^[15] Si bien los números cuadrados , los números cúbicos , etc., se consideran ahora más naturales que los números triangulares , pentagonales , etc., el estudio de las sumas de números triangulares y pentagonales resultaría fructífero en el período moderno temprano (17 a principios del siglo XIX).

No conocemos material claramente aritmético en fuentes védicas o egipcias antiguas, aunque hay algo de álgebra en cada una. El teorema del resto chino aparece como un ejercicio ^[16] en Sunzi Suanjing (siglos III, IV o V dC). ^[17] (Hay un paso importante pasado por alto en la solución de Sunzi: ^{[nota 5]} Es el problema que más tarde fue resuelto por aryabhata 's Kuṭṭaka - ver más abajo ).

También hay algo de misticismo numérico en las matemáticas chinas, ^{[nota 6]} pero, a diferencia de la de los pitagóricos, parece no haber llevado a ninguna parte. Como los números perfectos de los pitagóricos , los cuadrados mágicos han pasado de la superstición a la recreación .

La Grecia clásica y el período helenístico temprano

Más información: matemáticas griegas antiguas

Aparte de algunos fragmentos, conocemos las matemáticas de la Grecia clásica, ya sea a través de los informes de los no matemáticos contemporáneos o mediante trabajos matemáticos del período helenístico temprano. ^[18] En el caso de la teoría de números, esto significa, en general, Platón y Euclides , respectivamente.

Si bien las matemáticas asiáticas influyeron en el aprendizaje griego y helenístico, parece ser que las matemáticas griegas también son una tradición indígena.

Eusebio , PE X, capítulo 4 menciona a Pitágoras :

"De hecho, dicho Pitágoras, mientras estudiaba afanosamente la sabiduría de cada nación, visitó Babilonia y Egipto, y toda Persia, siendo instruido por los magos y los sacerdotes: y además de estos se relata que estudió con los brahmanes ( estos son filósofos indios); y de algunos aprendió astrología, de otros geometría y aritmética y música de otros, y cosas diferentes de diferentes naciones, y solo de los sabios de Grecia no obtuvo nada, casado como estaban con un pobreza y escasez de sabiduría: por el contrario, él mismo se convirtió en el autor de instrucción a los griegos sobre el saber que había obtenido del extranjero ". ^[19]

Aristóteles afirmó que la filosofía de Platón siguió de cerca las enseñanzas de los pitagóricos, ^[20] y Cicerón repite esta afirmación: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Dicen que Platón aprendió todas las cosas pitagóricas"). ^[21]

Platón tenía un gran interés en las matemáticas y distinguía claramente entre aritmética y cálculo. (Por aritmética se refería, en parte, a teorizar sobre números, más que a lo que han llegado a significar la aritmética o la teoría de números .) Es a través de uno de los diálogos de Platón —a saber, Theaetetus— que sabemos que Theodorus había demostrado que son irracionales. Theaetetus fue, como Platón, discípulo de Theodorus; trabajó para distinguir diferentes tipos de inconmensurables y, por lo tanto, podría decirse que fue un pionero en el estudio de los sistemas numéricos . (El Libro X de los Elementos de Euclides está descrito por${\displaystyle {\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}}$Pappus se basa en gran parte en el trabajo de Theaetetus).

Euclides dedicó parte de sus Elementos a los números primos y la divisibilidad, temas que pertenecen inequívocamente a la teoría de números y son básicos para ella (Libros VII a IX de Los Elementos de Euclides ). En particular, dio un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números (el algoritmo euclidiano ; Elementos , Prop. VII.2) y la primera prueba conocida de la infinitud de números primos ( Elementos , Prop. IX.20).

En 1773, Lessing publicó un epigrama que había encontrado en un manuscrito durante su trabajo como bibliotecario; afirmaba ser una carta enviada por Arquímedes a Eratóstenes . ^{[22] [23]} El epigrama proponía lo que se conoce como el problema del ganado de Arquímedes ; su solución (ausente en el manuscrito) requiere resolver una ecuación cuadrática indeterminada (que se reduce a lo que más tarde se llamaría erróneamente ecuación de Pell ). Hasta donde sabemos, estas ecuaciones fueron tratadas con éxito por primera vez por la escuela india . No se sabe si el propio Arquímedes tenía un método de solución.

Diofanto

Portada de la edición de 1621 de Arithmetica de Diofanto , traducida al latín por Claude Gaspard Bachet de Méziriac .

Se sabe muy poco sobre Diofanto de Alejandría ; probablemente vivió en el siglo III d.C., es decir, unos quinientos años después de Euclides. Seis de los trece libros de Arithmetica de Diofanto sobreviven en el griego original y cuatro más sobreviven en una traducción al árabe. La Arithmetica es una colección de problemas resueltos donde la tarea es invariablemente encontrar soluciones racionales a un sistema de ecuaciones polinomiales, generalmente de la forma o . Así, hoy en día hablamos de ecuaciones diofánticas cuando hablamos de ecuaciones polinomiales a las que hay que encontrar soluciones racionales o enteras.${\displaystyle f(x,y)=z^{2}}$${\displaystyle f(x,y,z)=w^{2}}$

Se puede decir que Diofanto estaba estudiando puntos racionales, es decir, puntos cuyas coordenadas son racionales, en curvas y variedades algebraicas ; sin embargo, a diferencia de los griegos del período clásico, que hicieron lo que ahora llamaríamos álgebra básica en términos geométricos, Diofanto hizo lo que ahora llamaríamos geometría algebraica básica en términos puramente algebraicos. En el lenguaje moderno, lo que hizo Diofanto fue encontrar parametrizaciones racionales de variedades; es decir, dada una ecuación de la forma (digamos) , su objetivo era encontrar (en esencia) tres funciones racionales tales que, para todos los valores de y , establecer para da una solución a${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2},g_{3}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x_{i}=g_{i}(r,s)}$${\displaystyle i=1,2,3}$${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.}$

Diofanto también estudió las ecuaciones de algunas curvas no racionales, para las cuales no es posible una parametrización racional. Logró encontrar algunos puntos racionales en estas curvas (curvas elípticas , como sucede, en lo que parece ser su primera aparición conocida) mediante lo que equivale a una construcción tangente: traducida a geometría de coordenadas (que no existía en la época de Diofanto). ), su método se visualizaría dibujando una tangente a una curva en un punto racional conocido, y luego encontrando el otro punto de intersección de la tangente con la curva; ese otro punto es un nuevo punto racional. (Diofanto también recurrió a lo que podría llamarse un caso especial de construcción secante).

Si bien Diofanto se preocupaba en gran medida por las soluciones racionales, asumió algunos resultados sobre números enteros, en particular que cada entero es la suma de cuatro cuadrados (aunque nunca dijo tanto explícitamente).

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Si bien la astronomía griega probablemente influyó en el aprendizaje indio, hasta el punto de introducir la trigonometría, ^[24] parece ser el caso de que las matemáticas indias son, por lo demás, una tradición indígena; ^[25] en particular, no hay evidencia de que los Elementos de Euclides llegaran a la India antes del siglo XVIII. ^[26]

Aryabhata (476-550 CE) mostró que los pares de congruencias simultáneas , podrían resolverse mediante un método que llamó kuṭṭaka , o pulverizador ; ^[27] este es un procedimiento cercano a (una generalización) del algoritmo euclidiano , que probablemente se descubrió de forma independiente en la India. ^[28] Āryabhaṭa parece haber tenido en mente aplicaciones para cálculos astronómicos. ^[24]${\displaystyle n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}}$${\displaystyle n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}}$

Brahmagupta (628 d. C.) inició el estudio sistemático de ecuaciones cuadráticas indefinidas, en particular, la mal llamada ecuación de Pell , en la que Arquímedes pudo haberse interesado por primera vez y que no comenzó a resolverse en Occidente hasta la época de Fermat y Euler. Los autores sánscritos posteriores lo seguirían, utilizando la terminología técnica de Brahmagupta. Jayadeva finalmente encontró un procedimiento general (el chakravala , o "método cíclico") para resolver la ecuación de Pell (citado en el siglo XI; por lo demás, su trabajo se pierde); la exposición más antigua que se conserva aparece en el Bīja-gaṇita (siglo XII) de Bhāskara II . ^[29]

Las matemáticas indias permanecieron en gran parte desconocidas en Europa hasta finales del siglo XVIII; ^[30] El trabajo de Brahmagupta y Bhāskara fue traducido al inglés en 1817 por Henry Colebrooke . ^[31]

Aritmética en la edad de oro islámica

Más información: Matemáticas en el Islam medieval

Al-Haytham visto por Occidente: en el frontispicio de Selenographia Alhasen [ sic ] representa el conocimiento a través de la razón y el conocimiento de Galileo a través de los sentidos.

A principios del siglo IX, el califa Al-Ma'mun ordenó traducciones de muchas obras matemáticas griegas y al menos una obra sánscrita (el Sindhind , que puede ^[32] o no ^[33] ser el Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta ). La obra principal de Diofanto, la Arithmetica , fue traducida al árabe por Qusta ibn Luqa (820–912). Parte del tratado al-Fakhri (de al-Karajī , 953 - ca. 1029) se basa en cierto grado. Según Rashed Roshdi, Ibn al-Haytham , contemporáneo de Al-Karajī, sabía ^[34] lo que más tarde se llamaríaTeorema de Wilson .

Europa occidental en la Edad Media

Aparte de un tratado sobre cuadrados en progresión aritmética de Fibonacci —quien viajó y estudió en el norte de África y Constantinopla— no se hizo ninguna teoría de números en la Europa occidental durante la Edad Media. Las cosas empezaron a cambiar en Europa a finales del Renacimiento , gracias a un estudio renovado de las obras de la antigüedad griega. Un catalizador fue la enmienda textual y la traducción al latín de Arithmetica de Diofanto . ^[35]

Teoría de números moderna temprana

Fermat

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat (1607-1665) nunca publicó sus escritos; en particular, su trabajo sobre teoría de números está contenido casi en su totalidad en cartas a matemáticos y en notas marginales privadas. ^[36] En sus notas y cartas, apenas escribió pruebas, no tenía modelos en la zona. ^[37]

Durante su vida, Fermat realizó las siguientes contribuciones al campo:

• Uno de los primeros intereses de Fermat fueron los números perfectos (que aparecen en Euclides, Elementos IX) y los números amistosos ; ^{[nota 7]} estos tópicos lo llevaron a trabajar en divisores de enteros , que fueron desde el principio entre los temas de la correspondencia (1636 en adelante) que lo pusieron en contacto con la comunidad matemática de la época. ^[38]

• En 1638, Fermat afirmó, sin pruebas, que todos los números enteros se pueden expresar como la suma de cuatro cuadrados o menos. ^[39]
• Pequeño teorema de Fermat (1640): ^[40] si a no es divisible por un primo p , entonces ^{[nota 8]}${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\bmod {p}}.}$
• Si un y b son primos entre sí, entonces no es divisible por cualquier primo congruente a -1 modulo 4; ^[41] y todo primo congruente con 1 módulo 4 se puede escribir en la forma . ^[42] Estas dos declaraciones también datan de 1640; en 1659, Fermat declaró a Huygens que había probado esta última afirmación mediante el método del descenso infinito . ^[43]${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$
• En 1657, Fermat planteó el problema de la resolución como un desafío a los matemáticos ingleses. Wallis y Brouncker resolvieron el problema en unos meses. ^[44] Fermat consideró válida su solución, pero señaló que habían proporcionado un algoritmo sin una prueba (al igual que Jayadeva y Bhaskara, aunque Fermat no estaba al tanto de esto). Afirmó que se podía encontrar una prueba por descenso infinito.${\displaystyle x^{2}-Ny^{2}=1}$
• Fermat declaró y demostró (por descendencia infinita) en el apéndice de Observaciones sobre Diofanto (Obs. XLV) ^[45] que no tiene soluciones no triviales en los números enteros. Fermat también mencionó a sus corresponsales que no tiene soluciones no triviales, y que esto también podría probarse por descendencia infinita. ^[46] La primera prueba conocida se debe a Euler (1753; de hecho, por descendencia infinita). ^[47]${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{4}}$${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$
• Fermat afirmó ( El último teorema de Fermat ) haber demostrado que no hay soluciones para todos ; esta afirmación aparece en sus anotaciones en los márgenes de su copia de Diofanto.${\displaystyle x^{n}+y^{n}=z^{n}}$${\displaystyle n\geq 3}$

Euler

Leonhard Euler

El interés de Leonhard Euler (1707-1783) en la teoría de números se estimuló por primera vez en 1729, cuando un amigo suyo, el aficionado ^{[nota 9]} Goldbach , le indicó algunos de los trabajos de Fermat sobre el tema. ^{[48] [49]} Esto ha sido llamado el "renacimiento" de la teoría de números moderna, ^[50] después de la relativa falta de éxito de Fermat en llamar la atención de sus contemporáneos sobre el tema. ^[51] El trabajo de Euler sobre teoría de números incluye lo siguiente: ^[52]

• Pruebas de las declaraciones de Fermat. Esto incluye el pequeño teorema de Fermat (generalizado por Euler a módulos no primos); el hecho de que si y solo si ; trabajo inicial hacia una demostración de que cada entero es la suma de cuatro cuadrados (la primera demostración completa es de Joseph-Louis Lagrange (1770), pronto mejorada por el propio Euler ^[53] ); la falta de soluciones enteras distintas de cero para (lo que implica el caso n = 4 del último teorema de Fermat, el caso n = 3 del cual Euler también demostró mediante un método relacionado).${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p\equiv 1{\bmod {4}}}$${\displaystyle x^{4}+y^{4}=z^{2}}$
• Ecuación de Pell , primero mal llamada por Euler. ^[54] Escribió sobre el vínculo entre las fracciones continuas y la ecuación de Pell. ^[55]
• Primeros pasos hacia la teoría analítica de números . En su trabajo de sumas de cuatro cuadrados, particiones , números pentagonales y la distribución de números primos, Euler fue pionero en el uso de lo que puede verse como análisis (en particular, series infinitas) en la teoría de números. Dado que vivió antes del desarrollo del análisis complejo , la mayor parte de su trabajo se restringe a la manipulación formal de series de poder . Sin embargo, hizo algunos trabajos iniciales muy notables (aunque no del todo rigurosos) en lo que más tarde se llamaría la función zeta de Riemann . ^[56]
• Formas cuadráticas . Siguiendo el ejemplo de Fermat, Euler hizo más investigaciones sobre la cuestión de qué primos se pueden expresar en la forma , algunos de los cuales prefiguran la reciprocidad cuadrática . ^{[57] [58] [59]}${\displaystyle x^{2}+Ny^{2}}$
• Ecuaciones diofánticas . Euler trabajó en algunas ecuaciones diofánticas de los géneros 0 y 1. ^{[60] [61]} En particular, estudió el trabajo de Diofanto ; Trató de sistematizarlo, pero aún no había llegado el momento de hacerlo: la geometría algebraica estaba todavía en su infancia. ^[62] Se dio cuenta de que había una conexión entre los problemas diofánticos y las integrales elípticas , ^[62] cuyo estudio él mismo había iniciado.

"Aquí había un problema, que yo, un niño de 10 años, podía entender, y supe desde ese momento que nunca lo dejaría pasar. Tenía que resolverlo". ^[63] - Sir Andrew Wiles sobre su demostración del último teorema de Fermat .

Lagrange, Legendre y Gauss

Carl Friedrich Gauss 's Disquisitiones Arithmeticae , primera edición

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) fue el primero en dar pruebas completas de algunos de los trabajos y observaciones de Fermat y Euler, por ejemplo, el teorema de los cuatro cuadrados y la teoría básica de la mal llamada "ecuación de Pell" (para la cual un algoritmo La solución fue encontrada por Fermat y sus contemporáneos, y también por Jayadeva y Bhaskara II antes que ellos.) También estudió las formas cuadráticas en total generalidad (en oposición a ), definiendo su relación de equivalencia, mostrando cómo ponerlas en forma reducida, etc.${\displaystyle mX^{2}+nY^{2}}$

Adrien-Marie Legendre (1752-1833) fue el primero en enunciar la ley de reciprocidad cuadrática. También conjeturó lo que equivale al teorema de los números primos y al teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas . Dio un tratamiento completo de la ecuación ^[64] y trabajó en formas cuadráticas a lo largo de las líneas desarrolladas más tarde por completo por Gauss. ^[65] En su vejez, fue el primero en demostrar el último teorema de Fermat para (completando el trabajo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet , y acreditando tanto a él como a Sophie Germain ). ^[66]${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0}$${\displaystyle n=5}$

Carl Friedrich Gauss

En sus Disquisitiones Arithmeticae (1798), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demostró la ley de la reciprocidad cuadrática y desarrolló la teoría de las formas cuadráticas (en particular, definiendo su composición). También introdujo algo de notación básica ( congruencias ) y dedicó una sección a cuestiones computacionales, incluidas las pruebas de primalidad. ^[67] La última sección de las Disquisitiones estableció un vínculo entre las raíces de la unidad y la teoría de números:

La teoría de la división del círculo ... que se trata en la sec. 7 no pertenece en sí mismo a la aritmética, pero sus principios solo pueden extraerse de la aritmética superior. ^[68]

De esta manera, podría decirse que Gauss hizo una primera incursión hacia tanto Evariste Galois trabajo 's y la teoría algebraica de números .

Madurez y división en subcampos

Ernst Kummer

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

A principios del siglo XIX, se produjeron gradualmente los siguientes desarrollos:

• El aumento de la autoconciencia de la teoría de números (o aritmética superior ) como campo de estudio. ^[69]
• El desarrollo de gran parte de las matemáticas modernas necesarias para la teoría de números moderna básica: análisis complejo , teoría de grupos , teoría de Galois, acompañada de un mayor rigor en el análisis y abstracción en álgebra.
• La subdivisión aproximada de la teoría de números en sus subcampos modernos, en particular, la teoría de números analítica y algebraica.

Se puede decir que la teoría de números algebraica comienza con el estudio de la reciprocidad y la ciclotomía , pero realmente se hizo realidad con el desarrollo del álgebra abstracta y la teoría de los ideales tempranos y la teoría de la valoración ; vea abajo. Un punto de partida convencional para la teoría analítica de números es el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas (1837), ^{[70] [71]} cuya demostración introdujo funciones L e involucró algún análisis asintótico y un proceso de limitación en una variable real. ^[72] El primer uso de ideas analíticas en la teoría de números en realidad se remonta a Euler (década de 1730), ^{[73] [74]}que utilizaron series de poder formales y argumentos limitantes no rigurosos (o implícitos). El uso del análisis complejo en la teoría de números viene más tarde: el trabajo de Bernhard Riemann (1859) sobre la función zeta es el punto de partida canónico; ^[75] El teorema de los cuatro cuadrados de Jacobi (1839), que es anterior a él, pertenece a una rama inicialmente diferente que ahora ha tomado un papel principal en la teoría analítica de números ( formas modulares ). ^[76]

La historia de cada subcampo se aborda brevemente en su propia sección a continuación; consulte el artículo principal de cada subcampo para conocer los tratamientos más completos. Muchas de las preguntas más interesantes de cada área permanecen abiertas y se están trabajando activamente en ellas.

Subdivisiones principales

Teoría elemental de números

El término elemental generalmente denota un método que no usa análisis complejo . Por ejemplo, el teorema de los números primos se probó por primera vez utilizando un análisis complejo en 1896, pero Erdős y Selberg no encontraron una demostración elemental hasta 1949 . ^[77] El término es algo ambiguo: por ejemplo, las demostraciones basadas en teoremas tauberianos complejos (por ejemplo, Wiener-Ikehara ) se ven a menudo como bastante esclarecedoras pero no elementales, a pesar de usar el análisis de Fourier, en lugar del análisis complejo como tal. Aquí, como en otros lugares, una prueba elemental puede resultar más larga y más difícil para la mayoría de los lectores que una no elemental.

Los teóricos de números Paul Erdős y Terence Tao en 1985, cuando Erdős tenía 72 años y Tao 10.

La teoría de números tiene la reputación de ser un campo cuyos resultados pueden exponerse al profano. Al mismo tiempo, las pruebas de estos resultados no son particularmente accesibles, en parte porque la gama de herramientas que utilizan es, en todo caso, inusualmente amplia dentro de las matemáticas. ^[78]

Teoría analítica de números

Artículo principal: Teoría analítica de números

Función zeta de Riemann ζ ( s ) en el plano complejo . El color de un punto s da el valor de ζ ( s ): los colores oscuros denotan valores cercanos a cero y el tono da el argumento del valor .

La acción del grupo modular en el semiplano superior . La región en gris es el dominio fundamental estándar .

La teoría analítica de números puede definirse

• en cuanto a sus herramientas, como el estudio de los enteros mediante herramientas de análisis real y complejo; ^[70] o
• en términos de sus preocupaciones, como el estudio dentro de la teoría de números de estimaciones sobre tamaño y densidad, en contraposición a las identidades. ^[79]

Algunos temas que generalmente se consideran parte de la teoría analítica de números, por ejemplo, la teoría del tamiz , ^{[nota 10],} están mejor cubiertos por la segunda definición que por la primera: algunos de la teoría del tamiz, por ejemplo, utilizan poco análisis, ^{[nota 11]} sin embargo, pertenece a la teoría analítica de números.

Los siguientes son ejemplos de problemas en la teoría analítica de números: el teorema de los números primos , la conjetura de Goldbach (o la conjetura de los primos gemelos , o las conjeturas de Hardy-Littlewood ), el problema de Waring y la hipótesis de Riemann . Algunas de las herramientas más importantes de la teoría analítica de números son el método del círculo , los métodos del tamiz y las funciones L (o, más bien, el estudio de sus propiedades). La teoría de las formas modulares (y, más generalmente, las formas automórficas ) también ocupa un lugar cada vez más central en la caja de herramientas de la teoría analítica de números. ^[80]

Uno puede hacer preguntas analíticas sobre números algebraicos y usar medios analíticos para responder tales preguntas; es así que la teoría de números algebraica y analítica se cruzan. Por ejemplo, uno puede definir ideales primos (generalizaciones de números primos en el campo de los números algebraicos) y preguntar cuántos ideales primos hay hasta cierto tamaño. Esta pregunta puede responderse mediante un examen de las funciones zeta de Dedekind , que son generalizaciones de la función zeta de Riemann , un objeto analítico clave en las raíces del sujeto. ^[81]Este es un ejemplo de un procedimiento general en la teoría analítica de números: derivar información sobre la distribución de una secuencia (aquí, ideales primos o números primos) a partir del comportamiento analítico de una función de valor complejo construida apropiadamente. ^[82]

Teoría algebraica de números

Artículo principal: Teoría algebraica de números

Un número algebraico es cualquier número complejo que sea una solución a alguna ecuación polinomial con coeficientes racionales; por ejemplo, toda solución de (digamos) es un número algebraico. Los campos de números algebraicos también se denominan campos de números algebraicos o, abreviadamente, campos de números . La teoría algebraica de números estudia los campos numéricos algebraicos. ^[83] Así, la teoría analítica y algebraica de números pueden superponerse y de hecho se superponen: la primera se define por sus métodos, la segunda por sus objetos de estudio.${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{5}+(11/2)x^{3}-7x^{2}+9=0}$

Se podría argumentar que el tipo más simple de campos numéricos (es decir, campos cuadráticos) ya fue estudiado por Gauss, ya que la discusión de formas cuadráticas en Disquisitiones arithmeticae puede reformularse en términos de ideales y normas en campos cuadráticos. (Un campo cuadrático consta de todos los números de la forma , donde y son números racionales y es un número racional fijo cuya raíz cuadrada no es racional). En realidad, el método chakravala del siglo XI equivale, en términos modernos, a un algoritmo. para encontrar las unidades de un campo numérico cuadrático real. Sin embargo, ni Bhāskara ni Gauss conocían los campos numéricos como tales.${\displaystyle a+b{\sqrt {d}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d}$

Los fundamentos del sujeto tal como lo conocemos se establecieron a finales del siglo XIX, cuando se desarrollaron los números ideales , la teoría de los ideales y la teoría de la valoración ; estas son tres formas complementarias de lidiar con la falta de factorización única en los campos numéricos algebraicos. (Por ejemplo, en el campo generado por los números racionales y , el número puede ser factorised tanto como y , todos , , y son irreducible, y por lo tanto, en un sentido ingenuo, análogo a los números primos entre los números enteros). El impulso inicial para el desarrollo de números ideales (por Kummer ) parece provenir del estudio de leyes de reciprocidad superiores, ^[84]${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 6=2\cdot 3}$${\displaystyle 6=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$es decir, generalizaciones de reciprocidad cuadrática .

Los campos numéricos se estudian a menudo como extensiones de campos de números más pequeños: un campo L se dice que es una extensión de un campo K Si L contiene K . (Por ejemplo, los números complejos C son una extensión de los reales R y los reales R son una extensión de los racionales Q ). Clasificar las posibles extensiones de un campo numérico dado es un problema difícil y parcialmente abierto. Extensiones abelianas, es decir, extensiones L de K tales que el grupo de Galois ^{[nota 12]} Gal ( L / K ) deL sobre K es un grupo abeliano, se entienden relativamente bien. Su clasificación fue objeto del programa de teoría de campos de clases , que se inició a finales del siglo XIX (en parte por Kronecker y Eisenstein ) y se llevó a cabo en gran parte en 1900-1950.

Un ejemplo de un área activa de investigación en teoría algebraica de números es la teoría de Iwasawa . El programa Langlands , uno de los principales planes actuales de investigación a gran escala en matemáticas, a veces se describe como un intento de generalizar la teoría de campos de clases a extensiones no abelianas de campos numéricos.

Geometría diofántica

Artículo principal: geometría diofántica

El problema central de la geometría diofántica es determinar cuándo una ecuación diofántica tiene soluciones y, si las tiene, cuántas. El enfoque adoptado es pensar en las soluciones de una ecuación como un objeto geométrico.

Por ejemplo, una ecuación en dos variables define una curva en el plano. De manera más general, una ecuación, o sistema de ecuaciones, en dos o más variables define una curva , una superficie o algún otro objeto similar en un espacio n -dimensional. En geometría diofántica, uno pregunta si hay puntos racionales (puntos cuyas coordenadas son racionales) o puntos integrales (puntos cuyas coordenadas son números enteros) en la curva o superficie. Si existen tales puntos, el siguiente paso es preguntar cuántos hay y cómo se distribuyen. Una pregunta básica en esta dirección es si hay un número finito o infinito de puntos racionales en una curva (o superficie) dada.

En la ecuación de Pitágoras nos gustaría estudiar sus soluciones racionales, es decir, sus soluciones tales que tanto x como y son racionales. Esto es lo mismo que pedir todas las soluciones enteras para ; cualquier solución a la última ecuación nos da una solución , a la antigua. También es lo mismo que pedir todos los puntos con coordenadas racionales en la curva descrita por . (Esta curva resulta ser un círculo de radio 1 alrededor del origen).${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$${\displaystyle x=a/c}$${\displaystyle y=b/c}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Dos ejemplos de una curva elíptica , es decir, una curva del género 1 que tiene al menos un punto racional. (Cualquiera de los gráficos puede verse como un corte de un toro en un espacio de cuatro dimensiones).

La reformulación de preguntas sobre ecuaciones en términos de puntos en curvas resulta feliz. La finitud o no del número de puntos racionales o enteros en una curva algebraica, es decir, soluciones racionales o enteras de una ecuación , donde hay un polinomio en dos variables, resulta depender crucialmente del género de la curva. El género se puede definir de la siguiente manera: ^{[nota 13]} permite que las variables sean números complejos; luego define una superficie bidimensional en un espacio (proyectivo) de cuatro dimensiones (ya que dos variables complejas se pueden descomponer en cuatro variables reales, es decir, cuatro dimensiones). Si contamos el número de agujeros (rosquillas) en la superficie; llamamos a este número el género${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle f(x,y)=0}$de . Otras nociones geométricas resultan ser igualmente cruciales.${\displaystyle f(x,y)=0}$

También está el área estrechamente vinculada de las aproximaciones diofánticas : dado un número , luego encontrar qué tan bien se puede aproximar mediante racionales. (Buscamos aproximaciones que sean buenas en relación con la cantidad de espacio que se necesita para escribir el racional: llame (con ) una buena aproximación a si , donde es grande). Esta pregunta es de especial interés si es un número algebraico. Si no se puede aproximar bien, entonces algunas ecuaciones no tienen soluciones enteras o racionales. Además, varios conceptos (especialmente el de altura ) resultan críticos tanto en la geometría diofántica como en el estudio de las aproximaciones diofánticas. Esta pregunta también es de especial interés en${\displaystyle x}$${\displaystyle a/q}$${\displaystyle \gcd(a,q)=1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x-a/q|<{\frac {1}{q^{c}}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$Teoría trascendental de los números : si un número puede aproximarse mejor que cualquier número algebraico, entonces es un número trascendental . Es por este argumento que se ha demostrado que π y e son trascendentales.

La geometría diofántica no debe confundirse con la geometría de los números , que es una colección de métodos gráficos para responder ciertas preguntas en la teoría algebraica de números. La geometría aritmética , sin embargo, es un término contemporáneo para el mismo dominio que abarca el término geometría diofántica . Podría decirse que el término geometría aritmética se usa con mayor frecuencia cuando se desea enfatizar las conexiones con la geometría algebraica moderna (como en, por ejemplo, el teorema de Faltings ) en lugar de con las técnicas en aproximaciones diofánticas.

Otros subcampos

Las áreas a continuación datan de no antes de mediados del siglo XX, incluso si están basadas en material más antiguo. Por ejemplo, como se explica a continuación, el tema de los algoritmos en la teoría de números es muy antiguo, en cierto sentido más antiguo que el concepto de prueba; al mismo tiempo, el estudio moderno de la computabilidad data solo de las décadas de 1930 y 1940, y la teoría de la complejidad computacional de la década de 1970.

Teoría probabilística de números

Artículo principal: teoría probabilística de números

Gran parte de la teoría probabilística de números puede verse como un caso especial importante del estudio de variables que son casi, pero no del todo, independientes entre sí . Por ejemplo, el evento de que un número entero aleatorio entre uno y un millón sea divisible por dos y el evento de que sea divisible por tres son casi independientes, pero no del todo.

A veces se dice que la combinatoria probabilística usa el hecho de que todo lo que sucede con una probabilidad mayor de lo que debe suceder a veces; se puede decir con igual justicia que muchas aplicaciones de la teoría probabilística de números dependen del hecho de que todo lo que es inusual debe ser raro. Si se puede demostrar que ciertos objetos algebraicos (por ejemplo, soluciones racionales o enteras de ciertas ecuaciones) están en la cola de ciertas distribuciones definidas con sensatez, se deduce que debe haber pocos de ellos; este es un enunciado no probabilístico muy concreto que se sigue de uno probabilístico.${\displaystyle 0}$

A veces, un enfoque probabilístico no riguroso conduce a una serie de algoritmos heurísticos y problemas abiertos, en particular la conjetura de Cramér .

Combinatoria aritmética

Artículos principales: Combinatoria aritmética y Teoría de números aditivos

Si empezamos desde una bastante "gruesa" conjunto infinito , ¿contiene muchos elementos en progresión aritmética: , , digamos? ¿Debería ser posible escribir números enteros grandes como sumas de elementos de ?${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a+b,a+2b,a+3b,\ldots ,a+10b}$${\displaystyle A}$

Estas preguntas son características de la combinatoria aritmética . Este es un campo actualmente en fusión; subsume la teoría de los números aditivos (que se ocupa de ciertos conjuntos muy específicos de significado aritmético, como los números primos o los cuadrados) y, posiblemente, parte de la geometría de los números , junto con algún material nuevo de rápido desarrollo. Su enfoque en cuestiones de cuentas de crecimiento y distribución, en parte, por sus vínculos en desarrollo con la teoría ergódica , la teoría de grupos finitos , la teoría de modelos , y otros campos. También se utiliza el término combinatoria aditiva ; sin embargo, los conjuntos${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$no es necesario que se estudien conjuntos de números enteros, sino más bien subconjuntos de grupos no conmutativos , para los cuales se usa tradicionalmente el símbolo de multiplicación, no el símbolo de adición; también pueden ser subconjuntos de anillos , en cuyo caso se puede comparar el crecimiento de y · .${\displaystyle A+A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

Teoría de números computacionales

Artículo principal: teoría de números computacionales

Un tamiz de Lehmer , una computadora digital primitiva que se usa para encontrar números primos y resolver ecuaciones diofánticas simples .

Si bien la palabra algoritmo se remonta solo a ciertos lectores de al-Khwārizmī , las descripciones cuidadosas de los métodos de solución son más antiguas que las pruebas: tales métodos (es decir, algoritmos) son tan antiguos como cualquier matemática reconocible: antiguo egipcio, babilónico, védico, chino —Mientras que las pruebas aparecieron sólo con los griegos del período clásico.

Un caso temprano es el de lo que ahora llamamos algoritmo euclidiano . En su forma básica (es decir, como un algoritmo para calcular el máximo común divisor ) aparece como la Proposición 2 del Libro VII en Elementos , junto con una prueba de corrección. Sin embargo, en la forma que se usa a menudo en la teoría de números (es decir, como un algoritmo para encontrar soluciones enteras a una ecuación o, lo que es lo mismo, para encontrar las cantidades cuya existencia está asegurada por el teorema del resto chino ) aparece primero en las obras de Āryabhaṭa (siglos V-VI EC) como un algoritmo llamado kuṭṭaka ("pulverizador"), sin una prueba de corrección.${\displaystyle ax+by=c}$

Hay dos preguntas principales: "¿Podemos calcular esto?" y "¿Podemos calcularlo rápidamente?" Cualquiera puede probar si un número es primo o, si no lo es, dividirlo en factores primos; hacerlo rápidamente es otro asunto. Ahora conocemos algoritmos rápidos para probar la primalidad , pero, a pesar de mucho trabajo (tanto teórico como práctico), no existe un algoritmo realmente rápido para la factorización.

La dificultad de un cálculo puede ser útil: los protocolos modernos para encriptar mensajes (por ejemplo, RSA ) dependen de funciones que son conocidas por todos, pero cuyas inversas son conocidas solo por unos pocos elegidos, y tomaría demasiado tiempo calcularlas. por su cuenta. Por ejemplo, estas funciones pueden ser tales que sus inversas se puedan calcular solo si se factorizan ciertos números enteros grandes. Si bien se conocen muchos problemas computacionales difíciles fuera de la teoría de números, la mayoría de los protocolos de cifrado que funcionan hoy en día se basan en la dificultad de algunos problemas teóricos de números.

Algunas cosas pueden no ser computables en absoluto; de hecho, esto se puede probar en algunos casos. Por ejemplo, en 1970, se demostró, como solución al décimo problema de Hilbert , que no existe una máquina de Turing que pueda resolver todas las ecuaciones diofánticas. ^[85] En particular, esto significa que, dado un valor computable enumerableconjunto de axiomas, hay ecuaciones diofánticas para las que no hay prueba, a partir de los axiomas, de si el conjunto de ecuaciones tiene o no soluciones enteras. (Estaríamos hablando necesariamente de ecuaciones diofánticas para las que no hay soluciones enteras, ya que, dada una ecuación diofántica con al menos una solución, la solución en sí proporciona una prueba del hecho de que existe una solución. No podemos probar que una diofantina particular La ecuación es de este tipo, ya que esto implicaría que no tiene soluciones).

Aplicaciones

Esta sección necesita expansión con: Aplicaciones modernas de la teoría de números. Puedes ayudar agregando más . ( Marzo de 2016 )

El teórico de números Leonard Dickson (1874-1954) dijo "Gracias a Dios que la teoría de números no está mancillada por ninguna aplicación". Tal punto de vista ya no es aplicable a la teoría de números. ^[86] En 1974, Donald Knuth dijo "... prácticamente todos los teoremas de la teoría de números elementales surgen de forma natural y motivada en relación con el problema de hacer que las computadoras realicen cálculos numéricos de alta velocidad". ^[87] La teoría de números elemental se enseña en cursos de matemáticas discretas para informáticos ; por otro lado, la teoría de números también tiene aplicaciones al análisis continuo en numérico . ^[88] Además de las conocidas aplicaciones paracriptografía , también hay aplicaciones en muchas otras áreas de las matemáticas. ^{[89] [90] [ especificar ]}

Premios

La American Mathematical Society otorga el Premio Cole en Teoría de Números . Además, la teoría de números es una de las tres subdisciplinas matemáticas premiadas por el Premio Fermat .

Ver también

• Campo de función algebraica
• Campo finito
• número p-adic

Notas

1. Original alemán: "Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, und die Arithmetik ist die Königin der Mathematik".
2. Ya en 1921, TL Heath tuvo que explicar: "Por aritmética, Platón se refería, no a la aritmética en nuestro sentido, sino a la ciencia que considera los números en sí mismos, en otras palabras, lo que entendemos por Teoría de los Números". ( Heath 1921 , pág.13)
3. Tomemos, por ejemplo, Serre 1973 . En 1952, Davenport todavía tenía que especificar que se refería a La aritmética superior . Hardy y Wright escribieron en la introducción de Introducción a la teoría de los números (1938): "En un momento propusimos cambiar [el título] a Introducción a la aritmética , un título más novedoso y, en cierto modo, más apropiado; pero se señaló que esto podría dar lugar a malentendidos sobre el contenido del libro ". ( Hardy y Wright 2008 ) harvnb error: no target: CITEREFSerre1973 (help)
4. Robson 2001 , p. 201. Esto es controvertido. Consulte Plimpton 322 . El artículo de Robson está escrito polémicamente ( Robson 2001 , p. 202) con miras a "quizás [...] derribar [Plimpton 322] de su pedestal" ( Robson 2001 , p. 167); al mismo tiempo, llega a la conclusión de que

   [...] la pregunta "¿cómo se calculó la tableta?" no tiene que tener la misma respuesta que la pregunta "¿Qué problemas tiene la tableta?" La primera puede responderse de manera más satisfactoria mediante pares recíprocos, como se sugirió por primera vez hace medio siglo, y la segunda mediante algún tipo de problemas de triángulos rectángulos ( Robson 2001 , p. 202).

   Robson está en desacuerdo con la noción de que el escriba que produjo Plimpton 322 (que tuvo que "trabajar para ganarse la vida" y no habría pertenecido a una "clase media ociosa") podría haber estado motivado por su propia "curiosidad ociosa" en el ausencia de un "mercado para las nuevas matemáticas" ( Robson 2001 , págs. 199-200)

5. Sunzi Suanjing , cap. 3, problema 26, en Lam y Ang 2004 , págs. 219-20:

   [26] Ahora hay un número desconocido de cosas. Si contamos de tres en tres, queda un resto 2; si contamos de cinco en cinco, queda un resto 3; si contamos de a siete, queda un residuo 2. Halla el número de cosas. Respuesta : 23.
   

   Método : Si contamos de tres en tres y hay un residuo de 2, anote 140. Si contamos de cinco en cinco y hay un residuo de 3, anote 63. Si contamos de siete en siete y hay un residuo de 2, anote 30. Súmelos para obtener 233 y reste 210 para obtener la respuesta. Si contamos de tres en tres y hay un resto 1, anote 70. Si contamos de cinco en cinco y hay un resto 1, anote 21. Si contamos de siete en siete y hay un resto 1, anote 15. Cuando [ un número] excede 106, el resultado se obtiene restando 105.

6. Ver, por ejemplo, Sunzi Suanjing , Cap. 3, problema 36, ​​en Lam y Ang 2004 , págs. 223-24:

   [36] Ahora hay una mujer embarazada cuya edad es de 29 años. Si el período de gestación es de 9 meses, determine el sexo del feto. Respuesta : Masculino.
   

   Método : Ponga 49, sume el período de gestación y reste la edad. Del resto quita 1 que representa el cielo, 2 la tierra, 3 el hombre, 4 las cuatro estaciones, 5 las cinco fases, 6 los seis tubos de brea, 7 las siete estrellas [del Cazo], 8 los ocho vientos, y 9 las nueve divisiones [de China bajo Yu el Grande]. Si el resto es impar, [el sexo] es masculino y si el resto es par, [el sexo] es femenino.

   Este es el último problema en el tratado por lo demás práctico de Sunzi.

7. números perfectos y especialmente amistosos tienen poco o ningún interés en la actualidad. Lo mismo no sucedió en la época medieval, ya sea en Occidente o en el mundo de habla árabe, debido en parte a la importancia que les dio el neopitagórico (y por lo tanto místico) Nicomachus (ca. 100 d.C.), quien escribió un primitivo pero influyente " Introducción a la aritmética ". Véase van der Waerden 1961 , cap. IV.
8. Aquí, como de costumbre, dados dos números enteros un y b y un entero no cero m , escribimos(leer " una es congruente con b módulo m ") para significar que m divide un  -  b , o, lo que es lo mismo, una y b abandonan el mismo residuo cuando se divide por m . Esta notación es en realidad mucho más tardía que la de Fermat; Primero aparece en la sección 1 de Gauss 's Disquisitiones Arithmeticae . El pequeño teorema de Fermat es una consecuencia del hecho de que el orden${\displaystyle a\equiv b{\bmod {m}}}$de un elemento de un grupo divide el orden del grupo . La demostración moderna habría estado dentro de los medios de Fermat (y de hecho fue dada más tarde por Euler), aunque el concepto moderno de grupo vino mucho después de Fermat o Euler. (Ayuda saber que existen inversas módulo p , es decir, dado un no divisible por un primo p , existe un entero x tal que ); este hecho (que, en el lenguaje moderno, convierte los residuos mod p en un grupo, y que ya era conocido por Āryabhaṭa ; ver arriba ) le era familiar a Fermat gracias a su redescubrimiento por Bachet (${\displaystyle xa\equiv 1{\bmod {p}}}$Weil 1984 , pág. 7). Weil continúa diciendo que Fermat habría reconocido que el argumento de Bachet es esencialmente el algoritmo de Euclides.
9. Hasta la segunda mitad del siglo XVII, los puestos académicos eran muy raros y la mayoría de los matemáticos y científicos se ganaban la vida de alguna otra manera ( Weil 1984 , pp. 159, 161). (Ya había algunas características reconocibles de la práctica profesional, a saber, la búsqueda de corresponsales, la visita de colegas extranjeros, la construcción de bibliotecas privadas ( Weil 1984 , págs. 160-61). Las cosas comenzaron a cambiar a fines del siglo XVII ( Weil 1984 , pág. 161); se fundaron academias científicas en Inglaterra (la Royal Society , 1662) y Francia (la Académie des sciences , 1666) y Rusia(1724). A Euler se le ofreció un puesto en este último en 1726; aceptó, llegando a San Petersburgo en 1727 ( Weil 1984 , p. 163 y Varadarajan 2006 , p. 7). En este contexto, el término aficionado que se suele aplicar a Goldbach está bien definido y tiene cierto sentido: ha sido descrito como un hombre de letras que se ganaba la vida como espía ( Truesdell 1984 , p. Xv); citado en Varadarajan 2006 , p. 9). Sin embargo, observe que Goldbach publicó algunos trabajos sobre matemáticas y, a veces, ocupó cargos académicos.
10. teoría del tamiz figura como una de las principales subáreas de la teoría analítica de números en muchos tratamientos estándar; ver, por ejemplo, Iwaniec & Kowalski 2004 o Montgomery & Vaughan 2007
11. Este es el caso de los tamices pequeños (en particular, algunos tamices combinatorios como el tamiz Brun ) en lugar de los tamices grandes ; el estudio de este último incluye ahora ideas del análisis armónico y funcional .
12. El grupo de Galois de una extensión L / K consiste en las operaciones ( isomorfismos ) que envían elementos de L a otros elementos de L dejando todos los elementos de K fijos. Así, por ejemplo, Gal (C / R) consta de dos elementos: el elemento de identidad (teniendo cada elemento x  +  iy de C a sí mismo) y conjugación compleja (el mapa teniendo cada elemento x  +  iy a x  -  iy ). El grupo de Galois de una extensión nos dice muchas de sus propiedades cruciales. El estudio de los grupos de Galois comenzó con Évariste Galois; en lenguaje moderno, el principal resultado de su trabajo es que una ecuación f ( x ) = 0 puede resolverse mediante radicales (es decir, x puede expresarse en términos de las cuatro operaciones básicas junto con raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc. ) si y solo si la extensión de los racionales por las raíces de la ecuación f ( x ) = 0 tiene un grupo de Galois que se puede resolver en el sentido de la teoría de grupos. ("Resoluble", en el sentido de la teoría de grupos, es una propiedad simple que se puede verificar fácilmente para grupos finitos).
13. Si queremos estudiar la curva. Nos permitimos x e y sean números complejos:. Este es, en efecto, un conjunto de dos ecuaciones en cuatro variables, ya que tanto la parte real como la imaginaria de cada lado deben coincidir. Como resultado, obtenemos una superficie (bidimensional) en un espacio de cuatro dimensiones. Después de elegir un hiperplano conveniente sobre el cual proyectar la superficie (lo que significa que, digamos, elegimos ignorar la coordenada a ), podemos trazar la proyección resultante, que es una superficie en un espacio tridimensional ordinario. Entonces queda claro que el resultado es un toro , en términos generales, la superficie de una rosquilla (algo estirada). Una rosquilla tiene un agujero; por tanto, el género es 1.${\displaystyle y^{2}=x^{3}+7}$${\displaystyle (a+bi)^{2}=(c+di)^{3}+7}$

Referencias

1. Long 1972 , p. 1.
2. Neugebauer y Sachs , 1945 , p. 40. El término takiltum es problemático. Robson prefiere la representación "El cuadrado de sujeción de la diagonal de la que se arranca 1, de modo que el lado corto salga ...". Robson 2001 , pág. 192
3. Robson 2001 , p. 189. Otras fuentes dan la fórmula moderna. Van der Waerden da tanto la fórmula moderna como lo que equivale a la forma preferida por Robson ( van der Waerden 1961 , p. 79).${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$
4. van der Waerden , 1961 , p. 184.
5. Neugebauer ( Neugebauer 1969 , pp. 36-40) analiza la tabla en detalle y menciona de pasada el método de Euclides en notación moderna ( Neugebauer 1969 , p. 39).
6. Friberg , 1981 , p. 302.
7. van der Waerden , 1961 , p. 43.
8. Iamblichus , Life of Pythagoras , (trans., Por ejemplo, Guthrie 1987 ) citado en van der Waerden 1961 , p. 108. Véase también Porphyry , Life of Pythagoras , párrafo 6, en Guthrie 1987 Van der Waerden ( van der Waerden 1961 , págs. 87-90) sostiene la opinión de que Tales conocía las matemáticas babilónicas.
9. Herodoto (II.81) e Isócrates ( Busiris 28), citado en: Huffman 2011 . Sobre Tales, ver Eudemus ap. Proclus, 65,7, (por ejemplo, Morrow 1992 , p. 52) citado en: O'Grady 2004 , p. 1. Proclo estaba usando un trabajo de Eudemus of Rhodes (ahora perdido), el Catálogo de Geómetros . Véase también la introducción, Morrow 1992 , pág. xxx sobre la confiabilidad de Proclus.
10. Becker , 1936 , pág. 533, citado en: van der Waerden 1961 , p. 108.
11. Becker, 1936 .
12. van der Waerden , 1961 , p. 109.
13. Platón, Theaetetus , p. 147 B, (por ejemplo, Jowett 1871 ), citado en von Fritz 2004 , p. 212: "Theodorus estaba escribiendo para nosotros algo sobre raíces, como las raíces de tres o cinco, mostrando que son inconmensurables por unidad; ..." Ver también Espiral de Theodorus .
14. von Fritz, 2004 .
15. Heath , 1921 , p. 76.
16. Sunzi Suanjing , Capítulo 3, Problema 26. Esto se puede encontrar en Lam & Ang 2004 , pp. 219-20, que contiene una traducción completa del Suan Ching (basado en Qian 1963 ). Véase también la discusión en Lam & Ang 2004 , págs. 138–140.
17. La fecha del texto se ha reducido a 220–420 EC (Yan Dunjie) o 280–473 EC (Wang Ling) a través de evidencia interna (= sistemas de impuestos asumidos en el texto). Véase Lam y Ang 2004 , págs. 27-28.
18. Boyer y Merzbach 1991 , p. 82.
19. "Eusebio de Cesarea: Praeparatio Evangelica (Preparación para el Evangelio). Tr. EH Gifford (1903) - Libro 10" .
20. Metafísica, 1.6.1 (987a)
21. Tusc. Disputa. 1.17.39.
22. Vardi 1998 , págs. 305-19.
23. Weil 1984 , págs. 17-24.
24. Plofker , 2008 , p. 119.
25. Cualquier contacto temprano entre las matemáticas de Babilonia e India sigue siendo una conjetura ( Plofker 2008 , p. 42).
26. Mumford 2010 , p. 387.
27. Aryabhata, Aryabhatiya, capítulo 2, versos 32-33, citado en: Plofker 2008 , pp 134-40.. Véase también Clark 1930 , págs. 42–50. Más tarde se dio una descripción un poco más explícita del kuṭṭaka en Brahmagupta , Brāhmasphuṭasiddhānta , XVIII, 3-5 (en Colebrooke 1817 , p. 325, citado en Clark 1930 , p. 42).
28. Mumford 2010 , p. 388.
29. Plofker , 2008 , p. 194.
30. Plofker , 2008 , p. 283.
31. Colebrooke 1817 .
32. Colebrooke 1817 , p. lxv, citado en Hopkins 1990 , p. 302. Véase también el prefacio de Sachau 1888 citado en Smith 1958 , págs. 168 harvnb error: no target: CITEREFSachau1888 (help)
33. Pingree 1968 , págs. 97-125 y Pingree 1970 , págs. 103-23, citado en Plofker 2008 , pág. 256.
34. Rashed 1980 , págs. 305-21.
35. Bachet , 1621, tras un primer intento de Xylander , 1575
36. Weil 1984 , págs. 45–46.
37. Weil 1984 , p. 118. Esto fue más cierto en la teoría de números que en otras áreas (observación en Mahoney 1994 , p. 284). Las propias pruebas de Bachet eran "ridículamente torpes" ( Weil 1984 , p. 33).
38. Mahoney 1994 , págs. 48, 53–54. Los temas iniciales de la correspondencia de Fermat incluían divisores ("partes alícuotas") y muchos temas fuera de la teoría de números; véase la lista en la carta de Fermat a Roberval, 22.IX.1636, Tannery & Henry 1891 , vol. II, págs. 72, 74, citado en Mahoney 1994 , pág. 54.
39. Faulkner, Nicolás; Hosch, William L. (15 de diciembre de 2017). Números y medidas . Enciclopedia Británica. ISBN 9781538300428.
40. Curtiduría y Henry 1891 , Vol. II, pág. 209, Carta XLVI de Fermat a Frenicle, 1640, citada en Weil 1984 , p. 56
41. Curtiduría y Henry 1891 , Vol. II, pág. 204, citado en Weil 1984 , p. 63. Todas las siguientes citas de la Varia Opera de Fermatestán tomadas de Weil 1984 , cap. II. El trabajo estándar de Tannery & Henry incluye una revisión de la póstuma Varia Opera Mathematica de Fermatpreparada originalmente por su hijo ( Fermat 1679 ).
42. Curtiduría y Henry 1891 , Vol. II, pág. 213.
43. Curtiduría y Henry 1891 , Vol. II, pág. 423.
44. Weil 1984 , p. 92.
45. Curtiduría y Henry 1891 , Vol. I, págs. 340–41.
46. Weil 1984 , p. 115.
47. Weil 1984 , págs. 115-16.
48. Weil 1984 , págs.2, 172.
49. Varadarajan , 2006 , p. 9.
50. Weil 1984 , págs. 1-2.
51. Weil 1984 , p. 2 y Varadarajan 2006 , p. 37
52. Varadarajan , 2006 , p. 39 y Weil 1984 , págs. 176–89
53. Weil 1984 , págs. 178–79.
54. Weil 1984 , p. 174. Euler fue generoso al dar crédito a los demás ( Varadarajan 2006 , p. 14), no siempre correctamente.
55. Weil 1984 , p. 183.
56. Varadarajan , 2006 , págs. 45–55; ver también el capítulo III.
57. Varadarajan , 2006 , págs. 44–47.
58. Weil 1984 , págs. 177–79.
59. Edwards 1983 , págs. 285–91.
60. Varadarajan , 2006 , págs. 55–56.
61. Weil 1984 , págs. 179–81.
62. Weil , 1984 , p. 181.
63. "Andrew Wiles sobre la solución de Fermat" . WGBH . Consultado el 16 de marzo de 2016 .
64. Weil 1984 , págs. 327-28.
65. Weil 1984 , págs. 332-34.
66. Weil 1984 , págs. 337-38.
67. Goldstein y Schappacher 2007 , p. 14.
68. Del prefacio de Disquisitiones Arithmeticae ; la traducción está tomada de Goldstein & Schappacher 2007 , p. dieciséis
69. Consulte la discusión en la sección 5 de Goldstein & Schappacher 2007 . Los primeros signos de timidez ya están presentes en las cartas de Fermat: de ahí sus comentarios sobre qué es la teoría de números y cómo "el trabajo de Diofanto [...] realmente no le pertenece" (citado en Weil 1984 , p. 25).
70. Apostol 1976 , p. 7.
71. Davenport y Montgomery 2000 , p. 1.
72. Vea la prueba en Davenport & Montgomery 2000 , sección 1
73. Iwaniec y Kowalski 2004 , p. 1.
74. Varadarajan 2006 , secciones 2.5, 3.1 y 6.1.
75. Granville 2008 , págs. 322–48.
76. Véase el comentario sobre la importancia de la modularidad en Iwaniec & Kowalski 2004 , p. 1
77. Goldfeld 2003 .
78. Ver, por ejemplo, el comentario inicial en Iwaniec & Kowalski 2004 , p. 1.
79. Granville 2008 , sección 1: "La principal diferencia es que en la teoría algebraica de números [...] uno suele considerar preguntas con respuestas que se dan mediante fórmulas exactas, mientras que en la teoría analítica [...] de números se buscan buenas aproximaciones . "
80. Véanse los comentarios en la introducción de Iwaniec & Kowalski 2004 , p. 1: "Sin embargo mucho más fuerte ...".
81. Granville 2008 , sección 3: "[Riemann] definió lo que ahora llamamos la función zeta de Riemann [...] El trabajo profundo de Riemann dio a luz a nuestro tema [...]"
82. Ver, por ejemplo, Montgomery & Vaughan 2007 , p. 1.
83. Milne , 2017 , p. 2.
84. Edwards 2000 , p. 79.
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• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium " Teoría de los números ", que se encuentra bajo la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no bajo la GFDL .

Otras lecturas

Dos de las introducciones más populares al tema son:

• GH Hardy ; EM Wright (2008) [1938]. Una introducción a la teoría de los números (rev. Por DR Heath-Brown y JH Silverman, 6ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-921986-5. Consultado el 2 de marzo de 2016 .
• Vinogradov, IM (2003) [1954]. Elements of Number Theory (reimpresión de la ed. De 1954). Mineola, NY: Publicaciones de Dover.

El libro de Hardy y Wright es un clásico completo, aunque su claridad a veces sufre debido a la insistencia de los autores en los métodos elementales ( Apostol nd ). El principal atractivo de Vinogradov consiste en su conjunto de problemas, que rápidamente conducen a los propios intereses de investigación de Vinogradov; el texto en sí es muy básico y casi mínimo. Otras primeras presentaciones populares son:

• Ivan M. Niven ; Herbert S. Zuckerman; Hugh L. Montgomery (2008) [1960]. Una introducción a la teoría de los números (reimpresión de la quinta edición de 1991 ed.). John Wiley e hijos . ISBN 978-81-265-1811-1. Consultado el 28 de febrero de 2016 .
• Kenneth H. Rosen (2010). Teoría elemental de números (6ª ed.). Educación de Pearson . ISBN 978-0-321-71775-7. Consultado el 28 de febrero de 2016 .

Las opciones populares para un segundo libro de texto incluyen:

• Borevich, AI ; Shafarevich, Igor R. (1966). Teoría de números . Matemática pura y aplicada. 20 . Boston, MA: Prensa académica . ISBN 978-0-12-117850-5. Señor  0195803 .
• Serre, Jean-Pierre (1996) [1973]. Un curso de aritmética . Textos de posgrado en matemáticas . 7 . Saltador. ISBN 978-0-387-90040-7.

enlaces externos

Wikiquote tiene citas relacionadas con: Teoría de números

• Medios relacionados con la teoría de números en Wikimedia Commons
• Entrada de teoría de números en la Enciclopedia de las matemáticas
• Web de teoría de números