En matemáticas , un polinomio de valores enteros (también conocido como polinomio numérico )es un polinomio cuyo valores un número entero para cada número entero n . Cada polinomio con coeficientes enteros tiene valores enteros, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el polinomio
toma valores enteros siempre que t es un número entero. Esto se debe a uno de t ydebe ser un número par . (Los valores que toma este polinomio son los números triangulares ).
Los polinomios con valores enteros son objetos de estudio por derecho propio en álgebra y aparecen con frecuencia en topología algebraica . [1]
Clasificación
La clase de polinomios con valores enteros fue descrita completamente por George Pólya ( 1915 ). Dentro del anillo polinomial de polinomios con coeficientes de números racionales , el subanillo de polinomios con valores enteros es un grupo abeliano libre . Tiene como base los polinomios
por , es decir, los coeficientes binomiales . En otras palabras, cada polinomio con valores enteros se puede escribir como una combinación lineal entera de coeficientes binomiales exactamente de una manera. La prueba se realiza mediante el método de series discretas de Taylor : los coeficientes binomiales son polinomios con valores enteros y, a la inversa, la diferencia discreta de una serie entera es una serie entera, por lo que la serie discreta de Taylor de una serie entera generada por un polinomio tiene coeficientes enteros (y es una serie finita).
Divisores primos fijos
Los polinomios con valores enteros se pueden usar de manera efectiva para resolver preguntas sobre divisores fijos de polinomios. Por ejemplo, los polinomios P con coeficientes enteros que siempre toman valores de números pares son solo aquellos tales quetiene un valor entero. Éstos, a su vez, son los polinomios que pueden expresarse como una combinación lineal con coeficientes enteros pares de los coeficientes binomiales.
En cuestiones de teoría de números primos, como la hipótesis H de Schinzel y la conjetura de Bateman-Horn , es una cuestión de importancia básica comprender el caso en el que P no tiene divisor primo fijo (esto se ha llamado propiedad de Bunyakovsky [ cita requerida ] , después de Viktor Bunyakovsky ). Al escribir P en términos de los coeficientes binomiales, vemos que el divisor primo fijo más alto es también el factor común primo más alto de los coeficientes en tal representación. Entonces, la propiedad de Bunyakovsky es equivalente a coeficientes coprimos.
Como ejemplo, el par de polinomios n y viola esta condición en : por cada n del producto
es divisible por 3, que se sigue de la representación
con respecto a la base binomial, donde el factor común más alto de los coeficientes, de ahí el divisor fijo más alto de —Es 3.
Otros anillos
Los polinomios numéricos se pueden definir sobre otros anillos y campos, en cuyo caso los polinomios con valores enteros anteriores se denominan polinomios numéricos clásicos . [ cita requerida ]
Aplicaciones
La teoría K de BU ( n ) es polinomios numéricos (simétricos).
El polinomio de Hilbert de un anillo polinomial en k + 1 variables es el polinomio numérico.
Referencias
- ^ Johnson, Keith (2014), "Teoría de homotopía estable, leyes formales de grupo y polinomios con valores enteros", en Fontana, Marco; Frisch, Sophie; Glaz, Sarah (eds.), Álgebra conmutativa: avances recientes en anillos conmutativos, polinomios con valores enteros y funciones polinomiales , Springer, págs. 213-224, ISBN 9781493909254. Véanse en particular las págs. 213-214.
Álgebra
- Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997), polinomios con valores enteros , estudios y monografías matemáticas, 48 , Providence, RI: American Mathematical Society , MR 1421321
- Pólya, George (1915), "Über ganzwertige ganze Funktionen", Palermo Rend. (en alemán), 40 : 1–16, ISSN 0009-725X , JFM 45.0655.02
Topología algebraica
- Baker, Andrew; Clarke, Francis; Ray, Nigel; Schwartz, Lionel (1989), "Sobre las congruencias de Kummer y la homotopía estable de BU ", Transactions of the American Mathematical Society , 316 (2): 385–432, doi : 10.2307 / 2001355 , JSTOR 2001355 , MR 0942424
- Ekedahl, Torsten (2002), "Sobre modelos mínimos en la teoría de homotopía integral" , Homología, homotopía y aplicaciones , 4 (2): 191-218, doi : 10.4310 / hha.2002.v4.n2.a9 , MR 1918189 , Zbl 1065.55003
- Elliott, Jesse (2006). "Anillos binomiales, polinomios con valores enteros y anillos λ" . Revista de álgebra pura y aplicada . 207 (1): 165–185. doi : 10.1016 / j.jpaa.2005.09.003 . Señor 2244389 .
- Hubbuck, John R. (1997), "Formas numéricas", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , Serie 2, 55 (1): 65–75, doi : 10.1112 / S0024610796004395 , MR 1423286
Otras lecturas
- Narkiewicz, Władysław (1995). Mapeos de polinomios . Apuntes de clase en matemáticas. 1600 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-59435-3. ISSN 0075-8434 . Zbl 0829.11002 .