En matemáticas aplicadas , el problema del signo numérico es el problema de evaluar numéricamente la integral de una función altamente oscilatoria de un gran número de variables. Los métodos numéricos fallan debido a la casi cancelación de las contribuciones positivas y negativas a la integral. Cada uno tiene que estar integrado con una precisión muy alta para que su diferencia se obtenga con una precisión útil .
El problema de los signos es uno de los principales problemas sin resolver en la física de los sistemas de muchas partículas . A menudo surge en los cálculos de las propiedades de un sistema mecánico cuántico con un gran número de fermiones que interactúan fuertemente , o en teorías de campo que involucran una densidad distinta de cero de fermiones que interactúan fuertemente.
Descripción general
En física, el problema de los signos se encuentra típicamente (pero no exclusivamente) en los cálculos de las propiedades de un sistema mecánico cuántico con un gran número de fermiones que interactúan fuertemente, o en teorías de campo que involucran una densidad distinta de cero de fermiones que interactúan fuertemente. Debido a que las partículas interactúan fuertemente, la teoría de la perturbación es inaplicable y uno se ve obligado a usar métodos numéricos de fuerza bruta. Debido a que las partículas son fermiones, su función de onda cambia de signo cuando se intercambian dos fermiones cualesquiera (debido a la antisimetría de la función de onda, consulte el principio de Pauli ). Entonces, a menos que haya cancelaciones que surjan de alguna simetría del sistema, la suma de la mecánica cuántica sobre todos los estados de múltiples partículas implica una integral sobre una función que es altamente oscilatoria, por lo que es difícil de evaluar numéricamente, particularmente en dimensiones altas. Dado que la dimensión de la integral viene dada por el número de partículas, el problema del signo se vuelve severo en el límite termodinámico . La manifestación de la teoría de campo del problema de los signos se analiza a continuación.
El problema de los signos es uno de los principales problemas sin resolver en la física de los sistemas de muchas partículas, lo que impide el progreso en muchas áreas:
- Física de la materia condensada : evita la solución numérica de sistemas con una alta densidad de electrones fuertemente correlacionados, como el modelo de Hubbard . [1]
- Física nuclear : evita el cálculo ab initio de las propiedades de la materia nuclear y, por lo tanto, limita nuestra comprensión de los núcleos y las estrellas de neutrones .
- Teoría cuántica de campos - Impide el uso de celosía QCD [2] para predecir las fases y propiedades de la materia de los quarks . [3] (En la teoría del campo reticular , el problema también se conoce como problema de acción compleja ). [4]
El problema de los signos en la teoría de campos
[a] En un enfoque de teoría de campo para sistemas de múltiples partículas, la densidad del fermión está controlada por el valor del potencial químico del fermión. . Uno evalúa la función de partición sumando todas las configuraciones de campo clásicas, ponderadas por dónde es la acción de la configuración. La suma de los campos de fermiones se puede realizar analíticamente, y uno se queda con una suma de los campos bosónicos .(que puede haber sido originalmente parte de la teoría, o haber sido producido por una transformación de Hubbard-Stratonovich para hacer cuadrática la acción del fermión)
dónde representa la medida de la suma en todas las configuraciones de los campos bosónicos, ponderado por
dónde es ahora la acción de los campos bosónicos, y es una matriz que codifica cómo se acoplaron los fermiones a los bosones. El valor esperado de un observable es, por tanto, un promedio de todas las configuraciones ponderado por
Si es positivo, entonces puede interpretarse como una medida de probabilidad, y se puede calcular realizando la suma de las configuraciones de campo numéricamente, utilizando técnicas estándar como el muestreo de importancia de Monte Carlo .
El problema de las señales surge cuando no es positivo. Esto ocurre típicamente en las teorías de fermiones cuando el potencial químico del fermiónes distinto de cero, es decir, cuando hay una densidad de fondo de fermiones distinta de cero. Si no hay simetría partícula-antipartícula, y , y de ahí el peso , es en general un número complejo, por lo que el muestreo de importancia de Monte Carlo no se puede utilizar para evaluar la integral.
Procedimiento de reponderación
Una teoría de campo con un peso no positivo se puede transformar en una con un peso positivo, incorporando la parte no positiva (signo o fase compleja) del peso en el observable. Por ejemplo, se podría descomponer la función de ponderación en su módulo y fase,
dónde es real y positivo, entonces
Tenga en cuenta que el valor esperado deseado ahora es una razón donde el numerador y el denominador son valores esperados que usan una función de ponderación positiva. . Sin embargo, la fasees una función altamente oscilatoria en el espacio de configuración, por lo que si se utilizan métodos de Monte Carlo para evaluar el numerador y el denominador, cada uno de ellos evaluará a un número muy pequeño, cuyo valor exacto se ve inundado por el ruido inherente al proceso de muestreo de Monte Carlo. . La "maldad" del problema del signo se mide por la pequeñez del denominador.: si es mucho menor que 1, el problema de la señal es grave. Se puede demostrar (por ejemplo, [5] ) que
dónde es el volumen del sistema, es la temperatura, y es una densidad de energía. Por lo tanto, el número de puntos de muestreo de Monte Carlo necesarios para obtener un resultado preciso aumenta exponencialmente a medida que aumenta el volumen del sistema y cuando la temperatura llega a cero.
La descomposición de la función de ponderación en módulo y fase es solo un ejemplo (aunque se ha defendido como la opción óptima ya que minimiza la varianza del denominador [6] ). En general se podría escribir
dónde puede ser cualquier función de ponderación positiva (por ejemplo, la función de ponderación de la teoría.) [7] La gravedad del problema de los signos se mide luego por
que vuelve a cero exponencialmente en el límite de gran volumen.
Métodos para reducir el problema de las señales.
El problema del signo es NP-difícil , lo que implica que una solución completa y genérica del problema del signo también resolvería todos los problemas en la clase de complejidad NP en tiempo polinomial. [8] Si (como generalmente se sospecha) no hay soluciones en tiempo polinomial para los problemas NP (ver problema P versus NP ), entonces no hay una solución genérica para el problema de los signos. Esto deja abierta la posibilidad de que existan soluciones que funcionen en casos específicos, donde las oscilaciones del integrando tengan una estructura que se pueda aprovechar para reducir los errores numéricos.
En sistemas con un problema de signos moderado, como las teorías de campo a una temperatura suficientemente alta o en un volumen suficientemente pequeño, el problema de los signos no es demasiado severo y se pueden obtener resultados útiles mediante varios métodos, como una reponderación más cuidadosamente ajustada, una continuación analítica. de imaginario a real , o expansión de Taylor en potencias de . [3] [9]
Existen varias propuestas para solucionar sistemas con un problema de señalización severo:
- Algoritmos de Meron -cluster. Estos logran una aceleración exponencial al descomponer las líneas del mundo del fermión en grupos que contribuyen de forma independiente. Se han desarrollado algoritmos de clúster para ciertas teorías, [5] pero no para el modelo de electrones de Hubbard, ni para QCD , la teoría de los quarks.
- Cuantización estocástica . La suma de las configuraciones se obtiene como la distribución de equilibrio de estados explorada por una ecuación compleja de Langevin . Hasta ahora, se ha descubierto que el algoritmo evita el problema de los signos en modelos de prueba que tienen un problema de signos pero que no involucran fermiones. [10]
- Método de nodo fijo. Uno fija la ubicación de los nodos (ceros) de la función de onda de múltiples partículas y usa métodos de Monte Carlo para obtener una estimación de la energía del estado fundamental, sujeto a esa restricción. [11]
- Algoritmos de Majorana. El uso de la representación del fermión de Majorana para realizar transformaciones de Hubbard-Stratonovich puede ayudar a resolver el problema del signo del fermión de una clase de modelos fermiónicos de muchos cuerpos. [12] [13]
Ver también
- Método de fase estacionaria
- Integral oscilatoria
Notas al pie
- ↑ Las fuentes de esta sección incluyen Chandrasekharan & Wiese (1999) [5] y Kieu & Griffin (1994), [6] además de las citadas.
Referencias
- ^ Loh, EY; Gubernatis, JE; Scalettar, RT; Blanco, SR; Scalapino, DJ; Azúcar, RL (1990). "Problema de signos en la simulación numérica de sistemas de muchos electrones". Physical Review B . 41 (13): 9301–9307. Código Bibliográfico : 1990PhRvB..41.9301L . doi : 10.1103 / PhysRevB.41.9301 . PMID 9993272 .
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